例1 求微分方程 (1+(y)^2)dx+(2x-1)ydy=0 的通解.

考查要点：本题主要考查微分方程的解法，特别是可分离变量方程、一阶线性微分方程以及伯努利方程的识别与求解能力。

解题核心思路：

1. 识别方程类型：通过整理方程形式，判断其是否属于可分离变量方程、线性方程或伯努利方程。
2. 选择合适方法：优先选择计算简便的方法（如可分离变量），或通过变量代换将方程转化为标准形式（如线性方程）。
3. 积分求解：根据方程类型，应用对应的积分公式或积分因子法求解通解。

破题关键点：

• 分离变量：将方程整理为关于$x$和$y$的分离形式，直接积分。
• 线性方程标准形式：将方程改写为$\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$，计算积分因子。
• 伯努利方程代换：通过代换$z = y^{2}$将方程转化为线性方程（需读者自行推导）。

解法一：可分离变量方程

1. 分离变量：
   原方程变形为：
   $\frac{dx}{2x-1} = -\frac{y}{1+y^2} dy$
2. 积分求解：
   • 左侧积分：$\int \frac{dx}{2x-1} = \frac{1}{2}\ln|2x-1| + C_1$
   • 右侧积分：$\int -\frac{y}{1+y^2} dy = -\frac{1}{2}\ln(1+y^2) + C_2$
3. 合并结果：
   消去常数项后得：
   $\ln|2x-1| = -\ln(1+y^2) + \ln C$
   转化为指数形式：
   $(2x-1)(1+y^2) = C$
   整理得通解：
   $(1-2x)(1+y^2) = C$

解法二：一阶线性微分方程

1. 整理方程：
   将方程改写为：
   $\frac{dx}{dy} + \frac{2y}{1+y^2}x = \frac{y}{1+y^2}$
2. 计算积分因子：
   $\mu(y) = e^{\int \frac{2y}{1+y^2} dy} = 1+y^2$
3. 应用通解公式：
   $x = \frac{1}{1+y^2} \left( \int \frac{y}{1+y^2} \cdot (1+y^2) dy + C \right)$
   积分得：
   $x = \frac{1}{1+y^2} \left( \frac{y^2}{2} + C \right)$
   整理后与解法一结果一致。