题目
北-|||-.ooo-|||-D C-|||-个-|||-30-|||-B A交通规则规定：绿灯亮起时，汽车可通行，绿灯结束时，车头已越过停车线的汽车允许通过。如图所示，停止线AB与前方斑马线CD间的距离为30m。红灯时，AB停止线拦下很多汽车，拦停的汽车笔直地排成一排。相邻两车车头相距L=8m，当绿灯显示“60”秒时，每辆车同时启动并做a1=3m/s2的匀加速直线运动，加速到v1=54km/h后匀速运动。(1)求汽车从静止加速到v1的时间及位移大小？(2)为了缓解早高峰期间堵车问题，该红绿灯处，在停止线前24m加入待行区域。在绿灯亮起前4秒，汽车开始启动并驶入待行区域。引入该举措相比原本绿灯亮起时才能通行，绿灯结束时多通过停止线的汽车数量？(3)通过路口一段时间后，同一条车道上，一辆卡车以v1=54km/h的速度做匀速直线运动，当卡车发现前方有障碍物时，立即以加速度a2=5m/s2刹车。此时距离卡车后方17.5m位置处，一辆轿车正以v2=72km/h的速度做匀速运动。发现卡车刹车后，经过t=0.4s的反应时间后，开始刹车。问轿车刹车的加速度至少为多大才能避免两车相撞？
交通规则规定：绿灯亮起时，汽车可通行，绿灯结束时，车头已越过停车线的汽车允许通过。如图所示，停止线AB与前方斑马线CD间的距离为30m。红灯时，AB停止线拦下很多汽车，拦停的汽车笔直地排成一排。相邻两车车头相距L=8m，当绿灯显示“60”秒时，每辆车同时启动并做a1=3m/s2的匀加速直线运动，加速到v1=54km/h后匀速运动。(1)求汽车从静止加速到v1的时间及位移大小？
(2)为了缓解早高峰期间堵车问题，该红绿灯处，在停止线前24m加入待行区域。在绿灯亮起前4秒，汽车开始启动并驶入待行区域。引入该举措相比原本绿灯亮起时才能通行，绿灯结束时多通过停止线的汽车数量？
(3)通过路口一段时间后，同一条车道上，一辆卡车以v1=54km/h的速度做匀速直线运动，当卡车发现前方有障碍物时，立即以加速度a2=5m/s2刹车。此时距离卡车后方17.5m位置处，一辆轿车正以v2=72km/h的速度做匀速运动。发现卡车刹车后，经过t=0.4s的反应时间后，开始刹车。问轿车刹车的加速度至少为多大才能避免两车相撞？
题目解答
答案
解：(1)v1=54km/h=15m/s
汽车从静止加速到v1的时间
${t}_{1}=\frac{{v}_{1}}{{a}_{1}}$=$\frac{15}{3}s=5s$
汽车从静止加速到v1的位移
${x}_{1}=\frac{0+{v}_{1}}{2}{t}_{1}=\frac{0+15}{2}×5m=37.5m$
(2)60内汽车运动的距离为
x2=x1+v1(60-t1)=37.5m+15×(60-5)m=862.5m
60s内通过停止线汽车的数量为
${n}_{1}=\frac{{x}_{2}}{L}=\frac{862.5}{8}$辆≈107辆
4s内汽车运动的距离为
${x}_{3}=\frac{1}{2}{a}_{1}{t}_{3}^{2}=\frac{1}{2}×3×{4}^{2}m=24m$
驶入待行区域的车辆不必减速，可以直接通过
64内汽车运动的距离为
x4=x1+v1(64-t1)=37.5m+15×(64-5)m=922.5m
64s内通过停止线汽车的数量为
${n}_{2}=\frac{{x}_{4}}{L}=\frac{922.5}{8}$辆≈115辆
多通过停止线的汽车数量：Δn=n2-n1=115辆-107辆=8辆
(3)设后车的刹车时间为t2时两车速度恰好相等且相遇，设轿车刹车的加速度大小为a3
v2-a3t2=v1-a2(t2+0.4)
[${v}_{2}{t}_{2}-\frac{1}{2}{a}_{3}{t}_{2}^{2}$]-[${v}_{1}({t}_{2}+0.4)-\frac{1}{2}{a}_{2}({t}_{2}+0.4)^{2}$]=17.5
解得：${a}_{3}=5.5m/{s}^{2}$
答：(1)汽车从静止加速到v1的时间为5s；位移大小为37.5m；
(2)轿车刹车的加速度至少为5.5m/s2才能避免两车相撞。
汽车从静止加速到v1的时间
${t}_{1}=\frac{{v}_{1}}{{a}_{1}}$=$\frac{15}{3}s=5s$
汽车从静止加速到v1的位移
${x}_{1}=\frac{0+{v}_{1}}{2}{t}_{1}=\frac{0+15}{2}×5m=37.5m$
(2)60内汽车运动的距离为
x2=x1+v1(60-t1)=37.5m+15×(60-5)m=862.5m
60s内通过停止线汽车的数量为
${n}_{1}=\frac{{x}_{2}}{L}=\frac{862.5}{8}$辆≈107辆
4s内汽车运动的距离为
${x}_{3}=\frac{1}{2}{a}_{1}{t}_{3}^{2}=\frac{1}{2}×3×{4}^{2}m=24m$
驶入待行区域的车辆不必减速，可以直接通过
64内汽车运动的距离为
x4=x1+v1(64-t1)=37.5m+15×(64-5)m=922.5m
64s内通过停止线汽车的数量为
${n}_{2}=\frac{{x}_{4}}{L}=\frac{922.5}{8}$辆≈115辆
多通过停止线的汽车数量：Δn=n2-n1=115辆-107辆=8辆
(3)设后车的刹车时间为t2时两车速度恰好相等且相遇，设轿车刹车的加速度大小为a3
v2-a3t2=v1-a2(t2+0.4)
[${v}_{2}{t}_{2}-\frac{1}{2}{a}_{3}{t}_{2}^{2}$]-[${v}_{1}({t}_{2}+0.4)-\frac{1}{2}{a}_{2}({t}_{2}+0.4)^{2}$]=17.5
解得：${a}_{3}=5.5m/{s}^{2}$
答：(1)汽车从静止加速到v1的时间为5s；位移大小为37.5m；
(2)轿车刹车的加速度至少为5.5m/s2才能避免两车相撞。
解析
步骤 1：将速度单位转换为米每秒
将v_1=54km/h和v_2=72km/h转换为米每秒，即v_1=15m/s和v_2=20m/s。
步骤 2：计算汽车从静止加速到v_1的时间及位移大小
根据匀加速直线运动公式，汽车从静止加速到v_1的时间为${t}_{1}=\frac{{v}_{1}}{{a}_{1}}$，位移大小为${x}_{1}=\frac{0+{v}_{1}}{2}{t}_{1}$。
步骤 3：计算绿灯亮起前4秒汽车运动的距离
根据匀加速直线运动公式，4秒内汽车运动的距离为${x}_{3}=\frac{1}{2}{a}_{1}{t}_{3}^{2}$。
步骤 4：计算60秒内通过停止线汽车的数量
根据匀加速直线运动公式，60秒内汽车运动的距离为x_2=x_1+v_1(60-t_1)，通过停止线汽车的数量为${n}_{1}=\frac{{x}_{2}}{L}$。
步骤 5：计算64秒内通过停止线汽车的数量
根据匀加速直线运动公式，64秒内汽车运动的距离为x_4=x_1+v_1(64-t_1)，通过停止线汽车的数量为${n}_{2}=\frac{{x}_{4}}{L}$。
步骤 6：计算多通过停止线的汽车数量
多通过停止线的汽车数量为Δn=n_2-n_1。
步骤 7：计算轿车刹车的加速度
设后车的刹车时间为t_2时两车速度恰好相等且相遇，设轿车刹车的加速度大小为a_3，根据匀加速直线运动公式，v_2-a_3t_2=v_1-a_2(t_2+0.4)，[${v}_{2}{t}_{2}-\frac{1}{2}{a}_{3}{t}_{2}^{2}$]-[${v}_{1}({t}_{2}+0.4)-\frac{1}{2}{a}_{2}({t}_{2}+0.4)^{2}$]=17.5，解得a_3。
将v_1=54km/h和v_2=72km/h转换为米每秒，即v_1=15m/s和v_2=20m/s。
步骤 2：计算汽车从静止加速到v_1的时间及位移大小
根据匀加速直线运动公式，汽车从静止加速到v_1的时间为${t}_{1}=\frac{{v}_{1}}{{a}_{1}}$，位移大小为${x}_{1}=\frac{0+{v}_{1}}{2}{t}_{1}$。
步骤 3：计算绿灯亮起前4秒汽车运动的距离
根据匀加速直线运动公式，4秒内汽车运动的距离为${x}_{3}=\frac{1}{2}{a}_{1}{t}_{3}^{2}$。
步骤 4：计算60秒内通过停止线汽车的数量
根据匀加速直线运动公式，60秒内汽车运动的距离为x_2=x_1+v_1(60-t_1)，通过停止线汽车的数量为${n}_{1}=\frac{{x}_{2}}{L}$。
步骤 5：计算64秒内通过停止线汽车的数量
根据匀加速直线运动公式，64秒内汽车运动的距离为x_4=x_1+v_1(64-t_1)，通过停止线汽车的数量为${n}_{2}=\frac{{x}_{4}}{L}$。
步骤 6：计算多通过停止线的汽车数量
多通过停止线的汽车数量为Δn=n_2-n_1。
步骤 7：计算轿车刹车的加速度
设后车的刹车时间为t_2时两车速度恰好相等且相遇，设轿车刹车的加速度大小为a_3，根据匀加速直线运动公式，v_2-a_3t_2=v_1-a_2(t_2+0.4)，[${v}_{2}{t}_{2}-\frac{1}{2}{a}_{3}{t}_{2}^{2}$]-[${v}_{1}({t}_{2}+0.4)-\frac{1}{2}{a}_{2}({t}_{2}+0.4)^{2}$]=17.5，解得a_3。