题目

18. (4.0分) 设函数f(x)在x=2处连续，且lim_(xto2)(f(x)-1)/(x-2)存在，则f(2)=____.

18. (4.0分) 设函数f(x)在x=2处连续，且 $\lim_{x\to2}\frac{f(x)-1}{x-2}$存在，则f(2)=____.

题目解答

答案

设 $\lim_{x \to 2} \frac{f(x) - 1}{x - 2} = L$（存在），则 \[ \lim_{x \to 2} (f(x) - 1) = \lim_{x \to 2} \left[ \frac{f(x) - 1}{x - 2} \cdot (x - 2) \right] = L \cdot 0 = 0. \] 因此，$\lim_{x \to 2} f(x) = 1$。 由连续性，$f(2) = \lim_{x \to 2} f(x) = 1$。 答案：$\boxed{1}$

解析

本题考查函数连续性的定义以及极限的运算法则。解题的关键在于利用已知极限存在的条件，结合极限的运算法则求出$\lim_{x\to2}f(x)$，再根据函数在某点连续的定义得出$f(2)$的值。

  1. 设$\lim_{x \to 2} \frac{f(x) - 1}{x - 2} = L$，因为题目中明确说明该极限存在，所以$L$为一个确定的常数。
  2. 根据极限的乘法运算法则：若$\lim_{x\to a}g(x)$和$\lim_{x\to a}h(x)$都存在，则$\lim_{x\to a}[g(x)\cdot h(x)]=\lim_{x\to a}g(x)\cdot\lim_{x\to a}h(x)$。
    • 对于$\lim_{x \to 2} (f(x) - 1)$，可以将其变形为$\lim_{x \to 2} \left[ \frac{f(x) - 1}{x - 2} \cdot (x - 2) \right]$。
    • 此时$\lim_{x \to 2} \frac{f(x) - 1}{x - 2}=L$，$\lim_{x \to 2} (x - 2)=2 - 2 = 0$。
    • 那么$\lim_{x \to 2} \left[ \frac{f(x) - 1}{x - 2} \cdot (x - 2) \right] = \lim_{x \to 2} \frac{f(x) - 1}{x - 2} \cdot \lim_{x \to 2} (x - 2)=L\cdot 0 = 0$。
  3. 由$\lim_{x \to 2} (f(x) - 1) = 0$，根据极限的减法运算法则：若$\lim_{x\to a}g(x)$和$\lim_{x\to a}h(x)$都存在，则$\lim_{x\to a}[g(x)-h(x)]=\lim_{x\to a}g(x)-\lim_{x\to a}h(x)$。
    • 可得$\lim_{x \to 2} f(x) - \lim_{x \to 2} 1 = 0$，因为$\lim_{x \to 2} 1 = 1$，所以$\lim_{x \to 2} f(x) = 1$。
  4. 已知函数$f(x)$在$x = 2$处连续，根据函数在某点连续的定义：函数$y = f(x)$在点$x_0$处连续的充要条件是$\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$。
    • 所以$f(2) = \lim_{x \to 2} f(x) = 1$。