（本题满分8分）求幂级数sum_(n=0)^infty(n+1)x^n的收敛域与和函数.

考查要点：本题主要考查幂级数的收敛域求解方法以及通过已知基本级数（如几何级数）的导数来求和函数的能力。

解题核心思路：

1. 收敛域：利用比值法确定收敛半径，再分别检验端点$x=1$和$x=-1$处的收敛性。
2. 和函数：通过几何级数的导数推导出目标级数的和函数，注意调整级数的起始项和形式。

破题关键点：

• 比值法求收敛半径：正确应用比值法公式，注意通项系数的处理。
• 端点检验：判断通项是否趋于零，直接排除发散情况。
• 级数构造：将目标级数拆解为已知级数的组合，通过求导和代数运算求和。

1. 确定收敛半径

设通项系数为$a_n = n+1$，根据比值法：
$R = \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_n}{a_{n+1}} \right| = \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{n+2} = 1.$
因此，收敛半径$R = 1$。

2. 确定收敛域

• 当$x = 1$时，级数变为$\sum_{n=0}^{\infty} (n+1)$，通项不趋于零，级数发散。
• 当$x = -1$时，级数变为$\sum_{n=0}^{\infty} (n+1)(-1)^n$，通项绝对值为$n+1$，同样不趋于零，级数发散。
  因此，收敛域为$(-1, 1)$。

3. 求和函数

1. 几何级数基础：
   $\sum_{n=0}^{\infty} x^n = \frac{1}{1-x} \quad (|x| < 1).$
2. 求导处理：
   对两边求导得：
   $\sum_{n=1}^{\infty} n x^{n-1} = \frac{1}{(1-x)^2}.$
   两边乘以$x$，调整下标：
   $\sum_{n=1}^{\infty} n x^n = \frac{x}{(1-x)^2}.$
3. 构造目标级数：
   原级数可拆分为：
   $\sum_{n=0}^{\infty} (n+1)x^n = \sum_{n=0}^{\infty} n x^n + \sum_{n=0}^{\infty} x^n.$
   其中：
   • $\sum_{n=0}^{\infty} n x^n = \frac{x}{(1-x)^2}$（当$n=0$时项为0，不影响结果）。
   • $\sum_{n=0}^{\infty} x^n = \frac{1}{1-x}$。
     合并得：
     $\frac{x}{(1-x)^2} + \frac{1}{1-x} = \frac{1}{(1-x)^2}.$