题目
lim _(xarrow {0)^+}((ln dfrac {1)(x))}^x
题目解答
答案
解析
步骤 1：转换表达式
将原表达式 $\lim _{x\rightarrow {0}^{+}}{(\ln \dfrac {1}{x})}^{x}$ 转换为指数形式，即 $\lim _{x\rightarrow {0}^{+}}{e}^{x\ln (\ln \dfrac {1}{x})}$。这是因为 $a^b = e^{b\ln a}$。
步骤 2：应用洛必达法则
由于 $\lim _{x\rightarrow {0}^{+}}x\ln (\ln \dfrac {1}{x})$ 形式为 $0 \cdot \infty$，我们可以通过转换为 $\frac{\ln (\ln \dfrac {1}{x})}{\frac{1}{x}}$ 的形式，然后应用洛必达法则来求解。洛必达法则适用于 $\frac{0}{0}$ 或 $\frac{\infty}{\infty}$ 形式的极限。
步骤 3：计算极限
应用洛必达法则，我们有：
$$\lim _{x\rightarrow {0}^{+}}\frac{\ln (\ln \dfrac {1}{x})}{\frac{1}{x}} = \lim _{x\rightarrow {0}^{+}}\frac{\frac{1}{\ln \dfrac {1}{x}} \cdot (-\frac{1}{x^2})}{-\frac{1}{x^2}} = \lim _{x\rightarrow {0}^{+}}\frac{1}{\ln \dfrac {1}{x}} = 0$$
因此，$\lim _{x\rightarrow {0}^{+}}{e}^{x\ln (\ln \dfrac {1}{x})} = e^0 = 1$。
将原表达式 $\lim _{x\rightarrow {0}^{+}}{(\ln \dfrac {1}{x})}^{x}$ 转换为指数形式，即 $\lim _{x\rightarrow {0}^{+}}{e}^{x\ln (\ln \dfrac {1}{x})}$。这是因为 $a^b = e^{b\ln a}$。
步骤 2：应用洛必达法则
由于 $\lim _{x\rightarrow {0}^{+}}x\ln (\ln \dfrac {1}{x})$ 形式为 $0 \cdot \infty$，我们可以通过转换为 $\frac{\ln (\ln \dfrac {1}{x})}{\frac{1}{x}}$ 的形式，然后应用洛必达法则来求解。洛必达法则适用于 $\frac{0}{0}$ 或 $\frac{\infty}{\infty}$ 形式的极限。
步骤 3：计算极限
应用洛必达法则，我们有：
$$\lim _{x\rightarrow {0}^{+}}\frac{\ln (\ln \dfrac {1}{x})}{\frac{1}{x}} = \lim _{x\rightarrow {0}^{+}}\frac{\frac{1}{\ln \dfrac {1}{x}} \cdot (-\frac{1}{x^2})}{-\frac{1}{x^2}} = \lim _{x\rightarrow {0}^{+}}\frac{1}{\ln \dfrac {1}{x}} = 0$$
因此，$\lim _{x\rightarrow {0}^{+}}{e}^{x\ln (\ln \dfrac {1}{x})} = e^0 = 1$。