题目
设 y=y(x) 是由方程 (y)^3-2(y)^2+2xy-(x)^2=1 确定的,求 y=y(x) 的-|||-驻点,并判定其驻点是否为极值点.
题目解答
答案
解析
步骤 1：隐函数求导
对给定的方程 $2{y}^{3}-2{y}^{2}+2xy-{x}^{2}=1$ 两边同时对 $x$ 求导，得到：
$6{y}^{2}y'-4yy'+2y+2xy'-2x=0$
步骤 2：求导数 $y'$
将上式整理，得到 $y'$ 的表达式：
$y'=\dfrac{x-y}{3{y}^{2}-2y+x}$
步骤 3：求驻点
令 $y'=0$，得到 $x-y=0$，即 $y=x$。将 $y=x$ 代入原方程，得到：
$2{x}^{3}-2{x}^{2}+2{x}^{2}-{x}^{2}=1$
即 $(x-1)(2{x}^{2}+x+1)=0$，解得 $x=1$。此时，$3{y}^{2}-2y+x\neq 0$，故得驻点 $x=1$。
步骤 4：判断驻点是否为极值点
从一阶导数的表达式有 $(3{y}^{2}-2y+x)y'=x-y$。两边对 $x$ 在 $x=1$ 求导，注意 $y'(1)=0$，$y(1)=1$，得：
$2{y}^{n}(1)=1$，$y''(1)=\dfrac{1}{2}\gt 0$，故 $x=1$ 是隐函数 $y(x)$ 的极小值点。
对给定的方程 $2{y}^{3}-2{y}^{2}+2xy-{x}^{2}=1$ 两边同时对 $x$ 求导，得到：
$6{y}^{2}y'-4yy'+2y+2xy'-2x=0$
步骤 2：求导数 $y'$
将上式整理，得到 $y'$ 的表达式：
$y'=\dfrac{x-y}{3{y}^{2}-2y+x}$
步骤 3：求驻点
令 $y'=0$，得到 $x-y=0$，即 $y=x$。将 $y=x$ 代入原方程，得到：
$2{x}^{3}-2{x}^{2}+2{x}^{2}-{x}^{2}=1$
即 $(x-1)(2{x}^{2}+x+1)=0$，解得 $x=1$。此时，$3{y}^{2}-2y+x\neq 0$，故得驻点 $x=1$。
步骤 4：判断驻点是否为极值点
从一阶导数的表达式有 $(3{y}^{2}-2y+x)y'=x-y$。两边对 $x$ 在 $x=1$ 求导，注意 $y'(1)=0$，$y(1)=1$，得：
$2{y}^{n}(1)=1$，$y''(1)=\dfrac{1}{2}\gt 0$，故 $x=1$ 是隐函数 $y(x)$ 的极小值点。