(4)设 (x)=(e)^sqrt (x) 则 lim _(Delta xarrow 0)dfrac (f(1+Delta x)-f(1))(Delta x)= () .-|||-(A)2e; (B) e; (C) dfrac (1)(2)e; (D) dfrac (1)(4)e.

本题考查导数的定义及复合函数求导，关键是理解极限式为函数$f(x)$在$x=1$处的导数$f'(1)$。

步骤1：识别极限的意义

题目中的极限$\lim _{\Delta x\rightarrow 0}\dfrac {f(1+\Delta x)-f(1)}{\Delta x}$是函数$f(x)$在$x=1$处的导数定义，即$f'(1)$。因此，问题转化为求$f(x)=e^{\sqrt{x}}$的导数在$x=1$处的值。

步骤2：求$f(x)$的导数

$f(x)=e^{\sqrt{x}}$是复合函数，外层函数为$e^u$（$u=\sqrt{x}$），内层函数为为$u=\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$。根据复合函数求导法则：
$f'(x)=\frac{df}{du}\cdot\frac{{du}{dx}$

• 外层导数：$\(e^u$)’=$e^u$
• 内层导数：($x^{\frac{1}{2}}$)’=\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}})=$\frac{1}{2\sqrt{x}}$

因此：
$f'(x)=e^{\sqrt{x}}\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}=\frac{e^{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}$

步骤3：计算$f'(1)$

将$x=1$代入$f'(x)$：
$f'(1)=\frac{e^{\sqrt{1}}}{2\sqrt{1}}=\frac{e^1}{2\times1}=\frac{1}{2}e$