1.[单选题]若f(z)=x^2+iy^2，则f(z)（）A. 在全平面上解析B. 仅在直线y=x上可导C. 仅在直线y=-x上可导D. 仅在(0,0)点可导

本题考查复变函数的可导性与解析性，核心在于应用柯西-黎曼方程判断函数满足条件的区域。解题关键点：

1. 分解函数：将复变函数$f(z)$拆分为实部$u(x,y)$和虚部$v(x,y)$；
2. 计算偏导数：分别求出$u$和$v$的偏导数$u_x, u_y, v_x, v_y$；
3. 验证柯西-黎曼方程：联立方程$u_x = v_y$和$u_y = -v_x$，解出满足条件的点；
4. 判断可导性与解析性：若仅在某条直线上满足条件，则函数仅在该直线上可导，但无法在区域内解析。

分解函数与计算偏导数

将$f(z) = x^2 + iy^2$分解为：

• 实部$u(x, y) = x^2$
• 虚部$v(x, y) = y^2$

计算偏导数：
$u_x = 2x, \quad u_y = 0, \quad v_x = 0, \quad v_y = 2y$

应用柯西-黎曼方程

柯西-黎曼方程要求：
$\begin{cases}u_x = v_y \\u_y = -v_x\end{cases}$

代入偏导数：

1. 第一方程：$2x = 2y \implies x = y$；
2. 第二方程：$0 = -0 \implies$ 恒成立。

结论：仅当$x = y$时，柯西-黎曼方程成立，即函数在直线$y = x$上满足可导条件。

解析性判断

虽然函数在直线$y = x$上可导，但解析性要求函数在邻域内每一点都可导。由于仅在一条直线上满足条件，故函数不解析。