【】7、平面pi:x-y-z+1=0与直线L:}x+y+3z=0x-y-z=0的位置关系是A. 直线L与平面π平行;B. 直线L与平面π垂直;C. 直线L在平面π内;D. 直线L与平面π只有一个交点，但不垂直.

考查要点：本题主要考查空间几何中直线与平面的位置关系判断，涉及法向量、方向向量的计算，以及点与平面位置关系的验证。

解题核心思路：

1. 确定直线方向向量：直线由两平面交线确定，其方向向量为两平面法向量的叉积。
2. 判断直线与平面的相对位置：
   • 若直线方向向量与平面法向量垂直，则直线可能与平面平行或在平面内。
   • 验证直线上是否存在点在平面上，若存在则直线在平面内，否则平行。
3. 排除其他选项：通过方向向量与法向量是否平行判断是否垂直，通过交点情况排除相交可能性。

破题关键点：

• 方向向量与法向量的点积为零，说明直线与平面平行或在平面内。
• 验证直线上点是否在平面内，排除“直线在平面内”的情况。

步骤1：求直线L的方向向量

直线L由平面$x+y+3z=0$和$x-y-z=0$的交线确定，其方向向量$\mathbf{d}$为两平面法向量的叉积：

• 平面$x+y+3z=0$的法向量$\mathbf{n_1}=(1,1,3)$，
• 平面$x-y-z=0$的法向量$\mathbf{n_2}=(1,-1,-1)$，
• 叉积计算：
  $\mathbf{d} = \mathbf{n_1} \times \mathbf{n_2} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 1 & 3 \\ 1 & -1 & -1 \end{vmatrix} = (2,4,-2).$

步骤2：判断方向向量与平面π的法向量关系

平面π的法向量$\mathbf{n}=(1,-1,-1)$，计算点积：
$\mathbf{d} \cdot \mathbf{n} = 2 \cdot 1 + 4 \cdot (-1) + (-2) \cdot (-1) = 2 -4 +2 = 0.$
点积为零，说明直线方向向量与平面法向量垂直，直线可能与平面平行或在平面内。

步骤3：验证直线是否在平面内

取直线L上的点$(-1,-2,1)$（通过解方程组$x+y+3z=0$和$x-y-z=0$得到），代入平面π的方程：
$(-1) - (-2) -1 +1 = -1 +2 -1 +1 = 1 \neq 0.$
该点不在平面π上，因此直线L不在平面内。

步骤4：排除其他选项

• 方向向量与法向量不平行，排除垂直（选项B）。
• 直线与平面无交点（若平行），排除“只有一个交点”（选项D）。

结论：直线L与平面π平行。