如图所示，一电荷线密度为的长直带电线（与一正方形线圈共面并与其一对边平行）以变速率v=v(t)沿其长度方向运动，正方形线圈中的总电阻为R，求t时刻正方形线圈中感应电流i(t)的大小（不计线圈的电感）

考查要点：本题主要考查法拉第电磁感应定律的应用，涉及电流的产生、磁场的计算以及磁通量变化率的求解。

解题核心思路：

1. 确定电流：带电导线运动形成电流，利用电流定义式$I = \lambda v(t)$。
2. 计算磁场：长直导线在空间某点的磁感应强度$B = \dfrac{\mu_0 I}{2\pi x}$。
3. 求磁通量：将正方形线圈分割为无数竖条，积分计算总磁通量$\varphi = \dfrac{\mu_0 I a}{2\pi} \ln 2$。
4. 应用法拉第定律：感应电动势$\mathcal{E} = -\dfrac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}t}$，结合欧姆定律$i = \mathcal{E}/R$。

破题关键：

• 积分上下限：线圈左右边到导线的距离分别为$a$和$2a$。
• 微分关系：电流$I(t) = \lambda v(t)$，需对$v(t)$求导。

1. 确定长直导线的电流

带电导线电荷线密度为$\lambda$，运动速度为$v(t)$，单位时间内通过截面的电荷量为$\mathrm{d}q = \lambda \mathrm{d}y$，因此电流为：
$I(t) = \frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t} = \lambda \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t} = \lambda v(t).$

2. 计算导线产生的磁场

长直导线在距离$x$处的磁感应强度为：
$B(x) = \frac{\mu_0 I(t)}{2\pi x}.$

3. 求正方形线圈的磁通量

将线圈沿$x$方向分割为宽度$\mathrm{d}x$、长度$a$的竖条，磁通量元为：
$\mathrm{d}\varphi = B(x) \cdot \mathrm{d}S = \frac{\mu_0 I(t)}{2\pi x} \cdot a \mathrm{d}x.$
积分范围为$x = a$到$x = 2a$，总磁通量为：
$\varphi = \int_{a}^{2a} \frac{\mu_0 I(t) a}{2\pi x} \mathrm{d}x = \frac{\mu_0 I(t) a}{2\pi} \ln 2.$

4. 应用法拉第电磁感应定律

感应电动势为：
$\mathcal{E} = -\frac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}t} = -\frac{\mu_0 \lambda a}{2\pi} \ln 2 \cdot \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}.$

5. 求感应电流

根据欧姆定律：
$i(t) = \frac{\mathcal{E}}{R} = -\frac{\mu_0 \lambda a}{2\pi R} \ln 2 \cdot \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}.$
电流大小为：
$i(t) = \frac{\mu_0 \lambda a}{2\pi R} \ln 2 \cdot \left| \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} \right|.$