20.计算二重积分siny2dxdy,其中D是由直线 x=1, y=2 及 y=x-1 所-|||-围成的区域。

考查要点：本题主要考查二重积分的计算，重点在于积分区域的确定和积分顺序的选择。需要根据几何图形确定积分上下限，并选择使计算简便的积分顺序。

解题核心思路：

1. 绘制积分区域：通过三条直线的交点确定区域D的形状，明确顶点坐标。
2. 选择积分顺序：优先选择对x积分，使被积函数简化为仅含y的表达式，从而转化为单变量积分。
3. 变量代换法：对单变量积分使用代换法，简化计算过程。

破题关键点：

• 积分区域分析：区域D是由三条直线围成的三角形，顶点为(1,0)、(1,2)、(3,2)。
• 积分顺序选择：先对x积分，再对y积分，避免直接处理复杂的sin(y²) dy积分。

步骤1：确定积分区域

区域D由直线x=1、y=2、y=x-1围成，顶点为(1,0)、(1,2)、(3,2)。对于每个y，x的范围是从1到y+1（由y=x-1解得x=y+1）。

步骤2：设置积分顺序

选择先对x积分，再对y积分：
$\iint_D \sin(y^2) \, dx \, dy = \int_{0}^{2} \int_{1}^{y+1} \sin(y^2) \, dx \, dy$

步骤3：对x积分

积分与x无关，直接计算积分区间长度：
$\int_{1}^{y+1} \sin(y^2) \, dx = \sin(y^2) \cdot \left[(y+1) - 1\right] = y \sin(y^2)$

步骤4：对y积分

使用变量代换法，令$u = y^2$，则$du = 2y \, dy$，积分变为：
$\int_{0}^{2} y \sin(y^2) \, dy = \frac{1}{2} \int_{0}^{4} \sin(u) \, du = \frac{1}{2} \left[ -\cos(u) \right]_{0}^{4} = \frac{1}{2} (1 - \cos 4)$