注 类似地，圆盘(x-2)^2+y^2leqslant 1绕y轴旋转而成的旋转体的体积为_____. (4pi^2)

考查要点：本题主要考查旋转体体积的计算，特别是利用圆柱壳法求解绕y轴旋转的体积。

解题核心思路：

1. 确定积分方法：由于旋转轴为y轴，选择圆柱壳法更简便。
2. 分析几何形状：圆盘方程$(x-2)^2 + y^2 \leq 1$表示圆心在$(2,0)$、半径为1的圆，其在x轴上的投影区间为$[1,3]$。
3. 建立积分表达式：每个圆柱壳的半径为$x$，高度为圆盘在y方向的长度$2\sqrt{1 - (x-2)^2}$，体积元素为$2\pi x \cdot 2\sqrt{1 - (x-2)^2} \, dx$。
4. 换元简化积分：通过变量代换$u = x - 2$，将积分转化为对称区间上的奇偶函数积分，利用对称性简化计算。

步骤1：确定积分区间与体积元素

圆盘在x轴上的投影区间为$[1,3]$，每个位置$x$处的圆柱壳半径为$x$，高度为圆盘在y方向的长度：
$\text{高度} = 2\sqrt{1 - (x-2)^2}$
体积元素为：
$dV = 2\pi x \cdot 2\sqrt{1 - (x-2)^2} \, dx = 4\pi x \sqrt{1 - (x-2)^2} \, dx$

步骤2：建立积分表达式

总体积为：
$V = \int_{1}^{3} 4\pi x \sqrt{1 - (x-2)^2} \, dx$

步骤3：变量代换简化积分

令$u = x - 2$，则$x = u + 2$，积分区间变为$u \in [-1,1]$，代入得：
$V = 4\pi \int_{-1}^{1} (u + 2) \sqrt{1 - u^2} \, du$

步骤4：拆分积分并利用对称性

将积分拆分为两部分：
$\int_{-1}^{1} u \sqrt{1 - u^2} \, du + 2\int_{-1}^{1} \sqrt{1 - u^2} \, du$

• 第一部分：被积函数$u \sqrt{1 - u^2}$为奇函数，在对称区间积分结果为$0$。
• 第二部分：$\int_{-1}^{1} \sqrt{1 - u^2} \, du$表示半径为1的半圆面积，值为$\frac{\pi}{2}$，因此：
  $2 \cdot \frac{\pi}{2} = \pi$

步骤5：计算最终结果

代入得：
$V = 4\pi \cdot \pi = 4\pi^2$