题目
6 设一平面过点M_(0)(1,2,-1)且垂直于平面3x-4y+z+16=0和4x-z+6=0,试求这平面方程.7 求三平面x+3y+z=1,2x-y-z=0,-x+2y+2z=3的交点.
6 设一平面过点$M_{0}$(1,2,-1)且垂直于平面3x-4y+z+16=0和4x-z+6=0,试求这平面方程.
7 求三平面$x+3y+z=1$,2x-y-z=0,$-x+2y+2z=3$的交点.
题目解答
答案
1. **求法向量**：
平面 $3x - 4y + z + 16 = 0$ 的法向量为 $\mathbf{n}_1 = (3, -4, 1)$，平面 $4x - z + 6 = 0$ 的法向量为 $\mathbf{n}_2 = (4, 0, -1)$。
所求平面的法向量 $\mathbf{n}$ 与 $\mathbf{n}_1$ 和 $\mathbf{n}_2$ 垂直，计算叉积：
\[
\mathbf{n} = \mathbf{n}_1 \times \mathbf{n}_2 = (4, 7, 16)
\]
2. **写平面方程**：
设平面方程为 $4x + 7y + 16z + d = 0$，代入点 $M_0(1, 2, -1)$：
\[
4 \cdot 1 + 7 \cdot 2 + 16 \cdot (-1) + d = 0 \implies d = -2
\]
**答案**：
\[
\boxed{4x + 7y + 16z - 2 = 0}
\]
解析
步骤 1：求法向量
平面 $3x - 4y + z + 16 = 0$ 的法向量为 $\mathbf{n}_1 = (3, -4, 1)$，平面 $4x - z + 6 = 0$ 的法向量为 $\mathbf{n}_2 = (4, 0, -1)$。所求平面的法向量 $\mathbf{n}$ 与 $\mathbf{n}_1$ 和 $\mathbf{n}_2$ 垂直，计算叉积： \[ \mathbf{n} = \mathbf{n}_1 \times \mathbf{n}_2 = (4, 7, 16) \]
步骤 2：写平面方程
设平面方程为 $4x + 7y + 16z + d = 0$，代入点 $M_0(1, 2, -1)$： \[ 4 \cdot 1 + 7 \cdot 2 + 16 \cdot (-1) + d = 0 \implies d = -2 \]
平面 $3x - 4y + z + 16 = 0$ 的法向量为 $\mathbf{n}_1 = (3, -4, 1)$，平面 $4x - z + 6 = 0$ 的法向量为 $\mathbf{n}_2 = (4, 0, -1)$。所求平面的法向量 $\mathbf{n}$ 与 $\mathbf{n}_1$ 和 $\mathbf{n}_2$ 垂直，计算叉积： \[ \mathbf{n} = \mathbf{n}_1 \times \mathbf{n}_2 = (4, 7, 16) \]
步骤 2：写平面方程
设平面方程为 $4x + 7y + 16z + d = 0$，代入点 $M_0(1, 2, -1)$： \[ 4 \cdot 1 + 7 \cdot 2 + 16 \cdot (-1) + d = 0 \implies d = -2 \]