1.求下列不定积分:-|||-(12) int (cos )^2(omega t+varphi )sin (omega t+varphi )dt;

考查要点：本题主要考查换元积分法的应用，特别是处理含有三角函数的复合函数积分。关键在于选择适当的中间变量进行替换，简化积分表达式。

解题核心思路：观察到被积函数中存在$\cos^2(\omega t+\varphi)$与$\sin(\omega t+\varphi)$的乘积，可考虑令$u = \cos(\omega t+\varphi)$，利用链式法则求导得到$du$与$\sin(\omega t+\varphi)dt$的关系，从而将原积分转化为关于$u$的简单多项式积分。

破题关键点：

1. 选择合适的替换变量，将复杂的三角函数组合转化为简单多项式。
2. 注意积分变量替换后的系数调整，尤其是$\omega$对微分$dt$的影响。

步骤1：变量替换
设中间变量$u = \cos(\omega t+\varphi)$，则其导数为：
$\frac{du}{dt} = -\omega \sin(\omega t+\varphi)$
从而可得：
$\sin(\omega t+\varphi)dt = -\frac{du}{\omega}$

步骤2：改写积分表达式
原积分可表示为：
$\int \cos^2(\omega t+\varphi) \sin(\omega t+\varphi) dt = \int u^2 \cdot \left(-\frac{du}{\omega}\right)$

步骤3：执行积分
将负号和常数$\frac{1}{\omega}$提出，积分变为：
$-\frac{1}{\omega} \int u^2 du = -\frac{1}{\omega} \cdot \frac{u^3}{3} + C = -\frac{u^3}{3\omega} + C$

步骤4：回代变量
将$u = \cos(\omega t+\varphi)$代回，得到最终结果：
$-\frac{\cos^3(\omega t+\varphi)}{3\omega} + C$