题目

有 1 , (mol) 刚性多原子分子的理想气体，原来的压强为 1.0 , (atm)，温度为 27 , (℃)，若经过一绝热过程，使其压强增加到 16 , (atm)。求：(1) 气体内能的增量；(2) 在该过程中气体所做的功；(3) 终态时，气体的分子数密度。

有 $1 \, \text{mol}$ 刚性多原子分子的理想气体，原来的压强为 $1.0 \, \text{atm}$，温度为 $27 \, \text{℃}$，若经过一绝热过程，使其压强增加到 $16 \, \text{atm}$。求：

(1) 气体内能的增量；

(2) 在该过程中气体所做的功；

(3) 终态时，气体的分子数密度。

题目解答

答案

1. 根据绝热过程 $ T_2 = T_1 \left( \frac{p_2}{p_1} \right)^{\frac{\gamma - 1}{\gamma}} = 300 \, \text{K} \times 2 = 600 \, \text{K} $。 内能增量为： \[ \Delta E = 3 R (T_2 - T_1) = 3 \times 8.314 \times 300 = 7482.6 \, \text{J} \] 2. 根据 $ \Delta E = -W $，得 $ W = -7482.6 \, \text{J} $。 3. 终态体积为： \[ V_2 = \frac{nRT_2}{p_2} = \frac{1 \times 8.314 \times 600}{1.6208 \times 10^6} \approx 3.08 \times 10^{-3} \, \text{m}^3 \] 分子数密度为： \[ n' = \frac{N}{V_2} = \frac{6.022 \times 10^{23}}{3.08 \times 10^{-3}} \approx 2.0 \times 10^{26} \, \text{m}^{-3} \] 最终结果： 1. $ \Delta E \approx 7.48 \times 10^3 \, \text{J} $； 2. $ W = -7.48 \times 10^3 \, \text{J} $； 3. $ n' \approx 2.0 \times 10^{26} \, \text{m}^{-3} $。

解析

本题主要考查理想气体的绝热过程、内能变化、功的计算以及分子数密度的计算。解题思路如下：

  1. 求终态温度：对于绝热过程，有绝热方程$T_2 = T_1 \left( \frac{p_2}{p_1} \right)^{\frac{\gamma - 1}{\gamma}}$，其中$\gamma$为绝热指数，对于刚性多原子分子理想气体$\gamma=\frac{4}{3}$，由此可计算出终态温度$T_2$。
  2. 求内能增量：理想气体内能公式为$E = \frac{i}{2}nRT$，内能增量$\Delta E=\frac{i}{2}nR(T_2 - T_1)$，对于刚性多原子分子$i = 6$，$n = 1mol$，$R = 8.314J/(mol\cdot K)$，代入$T_1$和$T_2$可求出$\Delta E$。
  3. 求气体所做的功：根据热力学第一定律$\Delta E=Q - W$，绝热过程$Q = 0$，所以$\Delta E=-W$，由前面求出的$\Delta E$可得到$W$。
  4. 求终态分子数密度：先根据理想气体状态方程$p_2V_2 = nRT_2$求出终态体积$V_2$，再根据分子数$N=nN_A$（$N_A = 6.022\times10^{23}mol^{-1}$），分子数密度$n'=\frac{N}{V_2}$可求出终态分子数密度。

具体计算过程

  1. 求终态温度$T_2$
    已知$T_1=(27 + 273)K = 300K$，$p_1 = 1.0atm$，$p_2 = 16atm$，$\gamma=\frac{4}{3}$，代入绝热方程$T_2 = T_1 \left( \frac{p_2}{p_1} \right)^{\frac{\gamma - 1}{\gamma}}$可得：
    $\begin{align*}T_2&=300K\times\left(\frac{16}{1}\right)^{\frac{\frac{4}{3}-1}{\frac{4}{3}}}\\&=300K\times\left(16\right)^{\frac{1}{4}}\\&=300K\times2\\&= 600K\end{align*}$
  2. 求内能增量$\Delta E$
    对于刚性多原子分子$i = 6$，$n = 1mol$，$R = 8.314J/(mol\cdot K)$，$T_1 = 300K$，$T_2 = 600K$，代入内能增量公式$\Delta E=\frac{i}{2}nR(T_2 - T_1)$可得：
    $\begin{align*}\Delta E&=\frac{6}{2}\times1\times8.314\times(600 - 300)\\&=3\times8.314\times300\\&= 7482.6J\\&\approx 7.48\times10^3J\end{align*}$
  3. 求气体所做的功$W$
    因为绝热过程$Q = 0$，根据热力学第一定律$\Delta E=Q - W$，可得$\Delta E=-W$，所以$W = -7482.6J\approx -7.48\times10^3J$。
  4. 求终态分子数密度$n'$
    先根据理想气体状态方程$p_2V_2 = nRT_2$求终态体积$V_2$，$p_2 = 16atm = 16\times1.01325\times10^5Pa\approx1.6208\times10^6Pa$，$n = 1mol$，$R = 8.314J/(mol\cdot K)$，$T_2 = 600K$，则：
    $\begin{align*}V_2&=\frac{nRT_2}{p_2}\\&=\frac{1\times8.314\times600}{1.6208\times10^6}\\&\approx 3.08\times10^{-3}m^3\end{align*}$
    分子数$N=nN_A = 1\times6.022\times10^{23}=6.022\times10^{23}$，则分子数密度$n'=\frac{N}{V_2}$为：
    $\begin{align*}n'&=\frac{6.022\times10^{23}}{3.08\times10^{-3}}\\&\approx 2.0\times10^{26}m^{-3}\end{align*}$