(2021年2)已知 (x)=dfrac (x|x|)(1+x) 求f(x)的凹凸区间及渐近线.

考查要点：本题主要考查函数的凹凸区间及渐近线的求解，涉及分段函数的导数计算、二阶导数的符号分析以及不同类型的渐近线判断。

解题核心思路：

1. 分段处理：由于函数含绝对值，需将函数拆分为$x>0$和$x<0$两种情况，分别处理。
2. 导数计算：通过求一阶、二阶导数，分析函数的凹凸性。特别注意$x=0$处导数的存在性。
3. 渐近线分析：分别判断垂直渐近线（分母为零的点）、斜渐近线（通过极限计算斜率和截距）。

破题关键点：

• 分段表达式：正确拆分$f(x)$为$x>0$和$x<0$的表达式。
• 二阶导数符号：通过二阶导数的正负确定凹凸区间，注意$x=-1$处的间断点。
• 渐近线极限：准确计算不同方向的极限，区分水平渐近线和斜渐近线。

函数分段与导数计算

1. 分段表达式：

   • 当$x>0$时，$f(x)=\dfrac{x^2}{1+x}$；
   • 当$x<0$时，$f(x)=\dfrac{-x^2}{1+x}$；
   • $x=0$时，$f(0)=0$。

2. 一阶导数：

   • $x>0$时，$f'(x)=\dfrac{x(x+2)}{(1+x)^2}$；
   • $x<0$时，$f'(x)=\dfrac{-x(x+2)}{(1+x)^2}$；
   • $x=0$处，左右导数均为$0$，故$f'(0)=0$。

3. 二阶导数：

   • $x>0$时，$f''(x)=\dfrac{2}{(1+x)^3}$；
   • $x<0$时，$f''(x)=\dfrac{-2}{(1+x)^3}$。

凹凸区间分析

• 当$x>0$时，$f''(x)>0$，函数在$(0,+\infty)$上凹；
• 当$x<-1$时，$f''(x)=\dfrac{-2}{(1+x)^3}$，分母为负，整体为正，函数在$(-\infty,-1)$上凹；
• 当$-1，$f''(x)<0$，函数在$(-1,0)$上凸。

渐近线分析

1. 垂直渐近线：$x=-1$（分母为零且极限趋于无穷）。
2. 斜渐近线：
   • 当$x\to+\infty$时，斜率为$\lim_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}{x}=1$，截距为$\lim_{x\to+\infty}(f(x)-x)=-1$，故斜渐近线为$y=x-1$；
   • 当$x\to-\infty$时，斜率为$\lim_{x\to-\infty}\dfrac{f(x)}{x}=-1$，截距为$\lim_{x\to-\infty}(f(x)+x)=1$，故斜渐近线为$y=-x+1$。