题目
若Omega是以原点为中心、R为半径的球体，且积分iiint_(Omega)f(z)dxdydz可以化为定积分int_(-R)^Rvarphi(z)dz，则varphi(z)=(）A. pi R^2 f(z).B. pi z^2 f(z).C. pi (R^2 - z^2)f(z).D. pi (R - z)^2 f(z).
若$\Omega$是以原点为中心、$R$为半径的球体，且积分$\iiint_{\Omega}f(z)dxdydz$可以化为定积分$\int_{-R}^{R}\varphi(z)dz$，则$\varphi(z)=$(）
A. $\pi R^2 f(z)$.
B. $\pi z^2 f(z)$.
C. $\pi (R^2 - z^2)f(z)$.
D. $\pi (R - z)^2 f(z)$.
题目解答
答案
C. $\pi (R^2 - z^2)f(z)$.
解析
步骤 1：理解积分区域
球体$\Omega$以原点为中心，半径为$R$。在任何固定的$z$值下，$x$和$y$的积分区域是一个半径为$\sqrt{R^2 - z^2}$的圆盘。
步骤 2：将三重积分转换为定积分
三重积分可以写为： \[ \iiint\limits_{\Omega} f(z) \, dxdydz = \int_{-R}^{R} \iint\limits_{x^2 + y^2 \leq R^2 - z^2} f(z) \, dxdy \, dz. \] 由于$f(z)$仅是$z$的函数，可以从关于$x$和$y$的双重积分中提出： \[ \int_{-R}^{R} f(z) \iint\limits_{x^2 + y^2 \leq R^2 - z^2} \, dxdy \, dz. \] 关于$x$和$y$的双重积分是半径为$\sqrt{R^2 - z^2}$的圆盘的面积，即$\pi (R^2 - z^2)$。因此，三重积分变为： \[ \int_{-R}^{R} f(z) \pi (R^2 - z^2) \, dz. \]
步骤 3：确定$\varphi(z)$
由于题目中给出的定积分是从$-R$到$R$，因此$\varphi(z)$的正确形式是： \[ \varphi(z) = \pi (R^2 - z^2) f(z). \]
球体$\Omega$以原点为中心，半径为$R$。在任何固定的$z$值下，$x$和$y$的积分区域是一个半径为$\sqrt{R^2 - z^2}$的圆盘。
步骤 2：将三重积分转换为定积分
三重积分可以写为： \[ \iiint\limits_{\Omega} f(z) \, dxdydz = \int_{-R}^{R} \iint\limits_{x^2 + y^2 \leq R^2 - z^2} f(z) \, dxdy \, dz. \] 由于$f(z)$仅是$z$的函数，可以从关于$x$和$y$的双重积分中提出： \[ \int_{-R}^{R} f(z) \iint\limits_{x^2 + y^2 \leq R^2 - z^2} \, dxdy \, dz. \] 关于$x$和$y$的双重积分是半径为$\sqrt{R^2 - z^2}$的圆盘的面积，即$\pi (R^2 - z^2)$。因此，三重积分变为： \[ \int_{-R}^{R} f(z) \pi (R^2 - z^2) \, dz. \]
步骤 3：确定$\varphi(z)$
由于题目中给出的定积分是从$-R$到$R$，因此$\varphi(z)$的正确形式是： \[ \varphi(z) = \pi (R^2 - z^2) f(z). \]