题目
6.已知 (x)=(e)^2x-1 , (x)=|sin x-1|, 求 (g(dfrac (pi )(6))) 的值.(5分)
题目解答
答案
本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
推导出g(π/6)=|sinπ/6-1|=1/2，从而f(g(π/6))=f(1/2)，由此能求出结果．
答案 1 解析 本题考查函数值的求法,考查函数性质等基础知识,考查运算求解能力,是基础题. 由题意得 $g(\dfrac {\pi }{6})=|\sin \dfrac {\pi }{6}-1|=\dfrac {1}{2}$ 所以 $f(g(\dfrac {\pi }{6}))=f(\dfrac {1}{2})={e}^{2\times \dfrac {1}{2}}-1=e-1$.
推导出g(π/6)=|sinπ/6-1|=1/2，从而f(g(π/6))=f(1/2)，由此能求出结果．
答案 1 解析 本题考查函数值的求法,考查函数性质等基础知识,考查运算求解能力,是基础题. 由题意得 $g(\dfrac {\pi }{6})=|\sin \dfrac {\pi }{6}-1|=\dfrac {1}{2}$ 所以 $f(g(\dfrac {\pi }{6}))=f(\dfrac {1}{2})={e}^{2\times \dfrac {1}{2}}-1=e-1$.
解析
考查要点：本题主要考查复合函数的求值，涉及绝对值函数和指数函数的运算。解题的关键在于分步计算，先求内层函数值，再代入外层函数。
核心思路：
- 先计算内层函数$g\left(\dfrac{\pi}{6}\right)$的值，注意绝对值符号的处理；
- 将结果代入外层函数$f(x)$中，正确进行指数运算。
破题关键：
- 准确计算$\sin \dfrac{\pi}{6}$的值；
- 正确处理绝对值，确保符号无误；
- 代入外层函数时，注意指数部分的运算顺序。
步骤1：计算$g\left(\dfrac{\pi}{6}\right)$
根据$g(x) = |\sin x - 1|$，代入$x = \dfrac{\pi}{6}$：
$\begin{aligned}g\left(\dfrac{\pi}{6}\right) &= \left|\sin \dfrac{\pi}{6} - 1\right| \\&= \left|\dfrac{1}{2} - 1\right| \quad \text{（因为$\sin \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{1}{2}$）} \\&= \left|-\dfrac{1}{2}\right| \\&= \dfrac{1}{2}.\end{aligned}$
步骤2：计算$f\left(g\left(\dfrac{\pi}{6}\right)\right)$
将$g\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = \dfrac{1}{2}$代入$f(x) = e^{2x} - 1$：
$\begin{aligned}f\left(\dfrac{1}{2}\right) &= e^{2 \times \dfrac{1}{2}} - 1 \\&= e^{1} - 1 \\&= e - 1.\end{aligned}$