(2)已知级数①sum_(n=1)^inftysin(n^3pi)/(n^2)+1;②sum_(n=1)^infty(-1)^n((1)/(sqrt[3](n^2))-tan(1)/(sqrt[3](n^2))),则 (A.)①与②均条件收敛. (B.)①条件收敛,②绝对收敛 (C.)①绝对收敛,②条件收敛. (D.)①与②均绝对收敛.

为了确定级数①和②的收敛性，我们需要分别分析每个级数。 ### 级数①: $\sum_{n=1}^{\infty}\sin\frac{n^{3}\pi}{n^{2}+1}$ 首先，考虑项 $\sin\frac{n^3\pi}{n^2+1}$。对于大的 $n$，$\frac{n^3\pi}{n^2+1}$ 大约等于 $n\pi$。由于 $\sin(n\pi) = 0$ 对于任何整数 $n$，我们可以近似 $\sin\frac{n^3\pi}{n^2+1}$ 为 $\sin(n\pi - \frac{n\pi}{n^2+1})$。 使用正弦的小角近似，$\sin x \approx x$ 对于小的 $x$，我们得到： \[ \sin\left(n\pi - \frac{n\pi}{n^2+1}\right) \approx -\sin\left(\frac{n\pi}{n^2+1}\right) \approx -\frac{n\pi}{n^2+1} \approx -\frac{\pi}{n} \] 级数 $\sum_{n=1}^{\infty} -\frac{\pi}{n}$ 是一个发散的调和级数。然而，级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \sin\frac{n^3\pi}{n^2+1}$ 是一个交错级数，因为 $\sin\frac{n^3\pi}{n^2+1}$ 的符号交替。根据莱布尼茨交错级数判别法，如果项的绝对值单调递减且趋于零，交错级数收敛。这里，$\left|\sin\frac{n^3\pi}{n^2+1}\right| \approx \frac{\pi}{n}$，这单调递减且趋于零。因此，级数①条件收敛。 ### 级数②: $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\left(\frac{1}{\sqrt[3]{n^2}} - \tan\frac{1}{\sqrt[3]{n^2}}\right)$ 首先，考虑项 $\frac{1}{\sqrt[3]{n^2}} - \tan\frac{1}{\sqrt[3]{n^2}}$。对于小的 $x$，$\tan x \approx x + \frac{x^3}{3}$。设 $x = \frac{1}{\sqrt[3]{n^2}}$，则： \[ \tan\frac{1}{\sqrt[3]{n^2}} \approx \frac{1}{\sqrt[3]{n^2}} + \frac{1}{3n^2} \] 因此， \[ \frac{1}{\sqrt[3]{n^2}} - \tan\frac{1}{\sqrt[3]{n^2}} \approx \frac{1}{\sqrt[3]{n^2}} - \left(\frac{1}{\sqrt[3]{n^2}} + \frac{1}{3n^2}\right) = -\frac{1}{3n^2} \] 级数 $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \left(-\frac{1}{3n^2}\right) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{3n^2}$ 是一个交错级数，但项的绝对值是 $\frac{1}{3n^2}$，这是一个收敛的 $p$-级数（因为 $p = 2 > 1$）。因此，级数②绝对收敛。 ### 结论 级数①条件收敛，级数②绝对收敛。正确答案是： \[ \boxed{B} \]