(17) lim _(xarrow {0)^+}((dfrac {1)(x))}^tan x

考查要点：本题主要考查极限的计算，特别是涉及指数函数与三角函数的复合形式。需要掌握等价无穷小替换、洛必达法则以及自然对数转换法的应用。

解题核心思路：
当遇到形如“$1^{\infty}$”型未定式时，通常通过取自然对数转化为求极限，再结合等价无穷小替换和洛必达法则简化计算。本题的关键在于将原式转换为指数函数形式，再处理指数部分的极限。

破题关键点：

1. 取自然对数，将原式转化为指数函数形式；
2. 等价无穷小替换：当$x \to 0$时，$\tan x \sim x$；
3. 洛必达法则处理“$0 \cdot \infty$”型未定式。

设原式为$L = \lim _{x\rightarrow {0}^{+}}{\left(\dfrac {1}{x}\right)}^{\tan x}$，步骤如下：

步骤1：取自然对数

对$L$取自然对数：
$\ln L = \lim _{x\rightarrow {0}^{+}} \tan x \cdot \ln \left(\dfrac{1}{x}\right) = \lim _{x\rightarrow {0}^{+}} \tan x \cdot (-\ln x)$

步骤2：等价无穷小替换

当$x \to 0^+$时，$\tan x \sim x$，因此：
$\ln L = \lim _{x\rightarrow {0}^{+}} x \cdot (-\ln x)$

步骤3：转换为分数形式

将表达式改写为：
$\ln L = \lim _{x\rightarrow {0}^{+}} \dfrac{-\ln x}{\dfrac{1}{x}}$

此时分子$-\ln x \to +\infty$，分母$\dfrac{1}{x} \to +\infty$，属于“$\dfrac{\infty}{\infty}$”型，应用洛必达法则：
$\ln L = \lim _{x\rightarrow {0}^{+}} \dfrac{\dfrac{d}{dx}(-\ln x)}{\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{1}{x}\right)} = \lim _{x\rightarrow {0}^{+}} \dfrac{-\dfrac{1}{x}}{-\dfrac{1}{x^2}} = \lim _{x\rightarrow {0}^{+}} x = 0$

步骤4：求指数还原

因此，原式为：
$$
L = e^{\ln L} = e^{0} = 1

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