题目
一底为b,高为h的对称抛物线拱形闸门,其底平行于水面,距水面为h(即顶与水面齐)。闸门垂直放在水中,求闸门所受的压力。若底与高之和为常数,即b+h=l(为常数)高和底各为多少时,闸所受的压力最大
一底为b,高为h的对称抛物线拱形闸门,其底平行于水面,距水面为h(即顶与水面
齐)。闸门垂直放在水中,求闸门所受的压力。若底与高之和为常数,即b+h=l(为常数)
高和底各为多少时,闸所受的压力最大
题目解答
答案
解析
步骤 1：建立坐标系
以闸门的底边中点为原点，建立直角坐标系，其中x轴沿水平方向，y轴沿竖直方向。设抛物线方程为$y = \dfrac{b}{2\sqrt{h}}\sqrt{x}$，其中$b$为底边长度，$h$为高度。
步骤 2：确定微元压力
取微元$x$到$x+dx$的窄条，其宽度为$2\cdot\dfrac{b}{2\sqrt{h}}\sqrt{x}dx$，高度为$dx$，所受压力近似为$dF = (2\cdot\dfrac{b}{2\sqrt{h}}\sqrt{x}dx)\cdot\rho g(h-x)$，其中$\rho$为水的密度，$g$为重力加速度。
步骤 3：积分求总压力
将微元压力积分，得到总压力$F = \dfrac{b\rho g}{\sqrt{h}}\int_{0}^{h}(h-x)\sqrt{x}dx$。计算积分得到$F = \dfrac{2}{5}b\rho g h^2$。
步骤 4：求最大压力
由于$b+h=l$，代入总压力公式得到$F = \dfrac{2}{5}\rho g(1-h)h^2$。对$F$关于$h$求导，得到$F'(h) = \dfrac{2}{5}\rho g h(2l-3h)$。令$F'(h) = 0$，解得$h = \dfrac{2}{3}l$，此时$b = \dfrac{1}{3}l$，压力最大。
以闸门的底边中点为原点，建立直角坐标系，其中x轴沿水平方向，y轴沿竖直方向。设抛物线方程为$y = \dfrac{b}{2\sqrt{h}}\sqrt{x}$，其中$b$为底边长度，$h$为高度。
步骤 2：确定微元压力
取微元$x$到$x+dx$的窄条，其宽度为$2\cdot\dfrac{b}{2\sqrt{h}}\sqrt{x}dx$，高度为$dx$，所受压力近似为$dF = (2\cdot\dfrac{b}{2\sqrt{h}}\sqrt{x}dx)\cdot\rho g(h-x)$，其中$\rho$为水的密度，$g$为重力加速度。
步骤 3：积分求总压力
将微元压力积分，得到总压力$F = \dfrac{b\rho g}{\sqrt{h}}\int_{0}^{h}(h-x)\sqrt{x}dx$。计算积分得到$F = \dfrac{2}{5}b\rho g h^2$。
步骤 4：求最大压力
由于$b+h=l$，代入总压力公式得到$F = \dfrac{2}{5}\rho g(1-h)h^2$。对$F$关于$h$求导，得到$F'(h) = \dfrac{2}{5}\rho g h(2l-3h)$。令$F'(h) = 0$，解得$h = \dfrac{2}{3}l$，此时$b = \dfrac{1}{3}l$，压力最大。