题目
已知三点A（1，0，0），B（3，1，1），C（2，0，1），则向量overrightarrow(CA)和overrightarrow(CB)之间的夹角为（ ）A. 30°B. 60°C. 90°D. 120°
已知三点A（1，0，0），B（3，1，1），C（2，0，1），则向量$\overrightarrow{CA}$和$\overrightarrow{CB}$之间的夹角为（ ）
A. 30°
B. 60°
C. 90°
D. 120°
题目解答
答案
D. 120°
解析
步骤 1：计算向量$\overrightarrow{CA}$和$\overrightarrow{CB}$
向量$\overrightarrow{CA}$的坐标为A点坐标减去C点坐标，即$\overrightarrow{CA} = (1-2, 0-0, 0-1) = (-1, 0, -1)$。
向量$\overrightarrow{CB}$的坐标为B点坐标减去C点坐标，即$\overrightarrow{CB} = (3-2, 1-0, 1-1) = (1, 1, 0)$。
步骤 2：计算向量$\overrightarrow{CA}$和$\overrightarrow{CB}$的点积
向量$\overrightarrow{CA}$和$\overrightarrow{CB}$的点积为$(-1) \times 1 + 0 \times 1 + (-1) \times 0 = -1$。
步骤 3：计算向量$\overrightarrow{CA}$和$\overrightarrow{CB}$的模
向量$\overrightarrow{CA}$的模为$\sqrt{(-1)^2 + 0^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$。
向量$\overrightarrow{CB}$的模为$\sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{2}$。
步骤 4：计算向量$\overrightarrow{CA}$和$\overrightarrow{CB}$之间的夹角
向量$\overrightarrow{CA}$和$\overrightarrow{CB}$之间的夹角余弦值为$\frac{\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB}}{|\overrightarrow{CA}| \cdot |\overrightarrow{CB}|} = \frac{-1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = -\frac{1}{2}$。
因此，向量$\overrightarrow{CA}$和$\overrightarrow{CB}$之间的夹角为$120°$。
向量$\overrightarrow{CA}$的坐标为A点坐标减去C点坐标，即$\overrightarrow{CA} = (1-2, 0-0, 0-1) = (-1, 0, -1)$。
向量$\overrightarrow{CB}$的坐标为B点坐标减去C点坐标，即$\overrightarrow{CB} = (3-2, 1-0, 1-1) = (1, 1, 0)$。
步骤 2：计算向量$\overrightarrow{CA}$和$\overrightarrow{CB}$的点积
向量$\overrightarrow{CA}$和$\overrightarrow{CB}$的点积为$(-1) \times 1 + 0 \times 1 + (-1) \times 0 = -1$。
步骤 3：计算向量$\overrightarrow{CA}$和$\overrightarrow{CB}$的模
向量$\overrightarrow{CA}$的模为$\sqrt{(-1)^2 + 0^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$。
向量$\overrightarrow{CB}$的模为$\sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{2}$。
步骤 4：计算向量$\overrightarrow{CA}$和$\overrightarrow{CB}$之间的夹角
向量$\overrightarrow{CA}$和$\overrightarrow{CB}$之间的夹角余弦值为$\frac{\overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{CB}}{|\overrightarrow{CA}| \cdot |\overrightarrow{CB}|} = \frac{-1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = -\frac{1}{2}$。
因此，向量$\overrightarrow{CA}$和$\overrightarrow{CB}$之间的夹角为$120°$。