题目
[题目]如图,连续函数 y=f(x) 在区间 [-3,-2], 2,3]-|||-上的图形分别是直径为1的上、下半圆周,在区间-|||-[ -2,0] , [0,2]的图形分别是直径为2的下、上半圆周,-|||-设(x)=(int )_(0)^xf(t)dt, 则下列结论正确的是 ()-|||-3-2 2 方 x-|||-A. (3)=-dfrac (3)(4)F(-2)-|||-B. (3)=dfrac (5)(4)F(2)-|||-C. (3)=dfrac (3)(4)F(2)-|||-D. (3)=-dfrac (5)(4)F(-2)
题目解答
答案
解析
步骤 1：计算 $F(3)$
$F(3)={\int }_{0}^{3}f(t)dt$ 可以分为两部分，即 ${\int }_{0}^{2}f(t)dt$ 和 ${\int }_{2}^{3}f(t)dt$。根据图形，${\int }_{0}^{2}f(t)dt$ 是直径为2的上半圆周的面积，${\int }_{2}^{3}f(t)dt$ 是直径为1的下半圆周的面积。因此，$F(3)=\dfrac {1}{2}\pi {2}^{2}-\dfrac {1}{2}\pi {1}^{2}=\dfrac {3}{2}\pi $。
步骤 2：计算 $F(2)$
$F(2)={\int }_{0}^{2}f(t)dt$，根据图形，这是直径为2的上半圆周的面积，因此 $F(2)=\dfrac {1}{2}\pi {2}^{2}=\dfrac {1}{2}\pi $。
步骤 3：计算 $F(-2)$
$F(-2)={\int }_{0}^{-2}f(t)dt$，根据图形，这是直径为2的下半圆周的面积，因此 $F(-2)=-\dfrac {1}{2}\pi {2}^{2}=-\dfrac {1}{2}\pi $。
步骤 4：验证选项
$F(3)=\dfrac {3}{2}\pi $，$F(2)=\dfrac {1}{2}\pi $，$F(-2)=-\dfrac {1}{2}\pi $。因此，$F(3)=\dfrac {3}{4}F(2)=\dfrac {3}{4}F(-2)$。故选C。
$F(3)={\int }_{0}^{3}f(t)dt$ 可以分为两部分，即 ${\int }_{0}^{2}f(t)dt$ 和 ${\int }_{2}^{3}f(t)dt$。根据图形，${\int }_{0}^{2}f(t)dt$ 是直径为2的上半圆周的面积，${\int }_{2}^{3}f(t)dt$ 是直径为1的下半圆周的面积。因此，$F(3)=\dfrac {1}{2}\pi {2}^{2}-\dfrac {1}{2}\pi {1}^{2}=\dfrac {3}{2}\pi $。
步骤 2：计算 $F(2)$
$F(2)={\int }_{0}^{2}f(t)dt$，根据图形，这是直径为2的上半圆周的面积，因此 $F(2)=\dfrac {1}{2}\pi {2}^{2}=\dfrac {1}{2}\pi $。
步骤 3：计算 $F(-2)$
$F(-2)={\int }_{0}^{-2}f(t)dt$，根据图形，这是直径为2的下半圆周的面积，因此 $F(-2)=-\dfrac {1}{2}\pi {2}^{2}=-\dfrac {1}{2}\pi $。
步骤 4：验证选项
$F(3)=\dfrac {3}{2}\pi $，$F(2)=\dfrac {1}{2}\pi $，$F(-2)=-\dfrac {1}{2}\pi $。因此，$F(3)=\dfrac {3}{4}F(2)=\dfrac {3}{4}F(-2)$。故选C。