4.试证明|arctan b - arctan a|≤|b-a|.

考查要点：本题主要考查利用导数性质证明不等式，核心思路是拉格朗日中值定理的应用，以及对反正切函数导数的分析。

关键思路：

1. 构造函数：设$f(x) = \arctan x$，其导数为$f'(x) = \frac{1}{1+x^2}$。
2. 应用中值定理：通过中值定理将函数值的差转化为导数与自变量差的乘积。
3. 估计导数范围：利用$1+x^2 \geq 1$，得出$|f'(x)| \leq 1$，从而建立不等式。

步骤1：构造函数并求导

设函数$f(x) = \arctan x$，其导数为：
$f'(x) = \frac{1}{1+x^2}$

步骤2：应用拉格朗日中值定理

根据拉格朗日中值定理，若$f(x)$在区间$[a,b]$上连续且可导，则存在$\xi \in (a,b)$，使得：
$\arctan b - \arctan a = f'(ξ)(b-a) = \frac{1}{1+ξ^2}(b-a)$

步骤3：分析导数的绝对值

由于$1+ξ^2 \geq 1$，可得：
$\left| \frac{1}{1+ξ^2} \right| \leq 1$

步骤4：建立不等式

取绝对值得：
$|\arctan b - \arctan a| = \left| \frac{1}{1+ξ^2} \right| \cdot |b-a| \leq |b-a|$