题目
函数 y = x^3 - 3x^2 + 7 的极大值是()A. -6B. -7C. 7D. 6
函数 $y = x^3 - 3x^2 + 7$ 的极大值是()
A. -6
B. -7
C. 7
D. 6
题目解答
答案
C. 7
解析
步骤 1：找到函数的一阶导数。
函数是 $ y = x^3 - 3x^2 + 7 $。 一阶导数是： \[ y' = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x^2 + 7) = 3x^2 - 6x. \]
步骤 2：将一阶导数设为零，以找到临界点。
我们解方程 $ y' = 0 $： \[ 3x^2 - 6x = 0. \] 提取公因子 $ 3x $，我们得到： \[ 3x(x - 2) = 0. \] 因此，解是： \[ x = 0 \quad \text{或} \quad x = 2. \] 这些是临界点。
步骤 3：使用二阶导数测试确定这些临界点是极大值还是极小值。
二阶导数是： \[ y'' = \frac{d}{dx}(3x^2 - 6x) = 6x - 6. \] 我们在临界点处评估二阶导数。 对于 $ x = 0 $： \[ y''(0) = 6 \cdot 0 - 6 = -6. \] 由于 $ y''(0) < 0 $，函数在 $ x = 0 $ 处有局部极大值。 对于 $ x = 2 $： \[ y''(2) = 6 \cdot 2 - 6 = 6. \] 由于 $ y''(2) > 0 $，函数在 $ x = 2 $ 处有局部极小值。
步骤 4：在极大值点处评估函数。
函数在 $ x = 0 $ 处的值是： \[ y(0) = 0^3 - 3 \cdot 0^2 + 7 = 7. \] 因此，函数的极大值是 $ 7 $。
函数是 $ y = x^3 - 3x^2 + 7 $。 一阶导数是： \[ y' = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x^2 + 7) = 3x^2 - 6x. \]
步骤 2：将一阶导数设为零，以找到临界点。
我们解方程 $ y' = 0 $： \[ 3x^2 - 6x = 0. \] 提取公因子 $ 3x $，我们得到： \[ 3x(x - 2) = 0. \] 因此，解是： \[ x = 0 \quad \text{或} \quad x = 2. \] 这些是临界点。
步骤 3：使用二阶导数测试确定这些临界点是极大值还是极小值。
二阶导数是： \[ y'' = \frac{d}{dx}(3x^2 - 6x) = 6x - 6. \] 我们在临界点处评估二阶导数。 对于 $ x = 0 $： \[ y''(0) = 6 \cdot 0 - 6 = -6. \] 由于 $ y''(0) < 0 $，函数在 $ x = 0 $ 处有局部极大值。 对于 $ x = 2 $： \[ y''(2) = 6 \cdot 2 - 6 = 6. \] 由于 $ y''(2) > 0 $，函数在 $ x = 2 $ 处有局部极小值。
步骤 4：在极大值点处评估函数。
函数在 $ x = 0 $ 处的值是： \[ y(0) = 0^3 - 3 \cdot 0^2 + 7 = 7. \] 因此，函数的极大值是 $ 7 $。