题目
题目 四边形ABCD是复平面内的平行四边形，A，B，C三点对应的复数分别为1+3i，-i，2+i，求点D对应的复数.
题目
四边形ABCD是复平面内的平行四边形，A，B，C三点对应的复数分别为1+3i，-i，2+i，求点D对应的复数.
题目解答
答案
设D对应的复数为x+yi.
因为四边形ABCD是平行四边形，
所以
AB−→−=DC−→−
，
于是有-i-1-3i=2+i-x-yi，
整理得-1-4i=(2-x)+(1-y)i，
所以有
{2−x=−11−y=−4
，
解得
{x=3y=5
，
故点D对应的复数为3+5i.
解析
考查要点：本题主要考查复平面内平行四边形的性质及向量运算的应用。
解题思路：利用平行四边形对边向量相等的性质，将复数对应的点坐标转化为向量，通过向量相等建立方程求解未知点的坐标。
关键点：
- 平行四边形对边向量相等（如$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$）；
- 复数的坐标表示与向量运算；
- 复数实部与虚部分别对应方程求解。
步骤1：确定已知点的坐标
- 点$A$对应复数$1+3i$，坐标为$(1,3)$；
- 点$B$对应复数$-i$，坐标为$(0,-1)$；
- 点$C$对应复数$2+i$，坐标为$(2,1)$；
- 设点$D$对应复数$x+yi$，坐标为$(x,y)$。
步骤2：利用平行四边形性质列方程
根据平行四边形对边向量相等，$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}$：
- $\overrightarrow{AB} = B - A = (0-1) + (-1-3)i = -1 -4i$；
- $\overrightarrow{DC} = C - D = (2-x) + (1-y)i$。
由向量相等得：
$-1 -4i = (2-x) + (1-y)i$
步骤3：解方程求$x$和$y$
复数实部与虚部分别相等：
- 实部：$2 - x = -1 \implies x = 3$；
- 虚部：$1 - y = -4 \implies y = 5$。
结论：点$D$对应的复数为$3+5i$。