【题目】-|||-计算下列各极限:-|||-lim _(xarrow 0)dfrac (ln (1+3x))(sin 2x) ;

考查要点：本题主要考查等价无穷小替换的应用，以及在处理$\frac{0}{0}$型极限时的常用方法。

解题核心思路：
当$x \rightarrow 0$时，$\ln(1+3x)$和$\sin 2x$均趋近于$0$，属于$\frac{0}{0}$型极限。此时可利用等价无穷小替换简化表达式，直接求出极限值。若不熟悉等价无穷小，也可通过洛必达法则求解。

破题关键点：

1. 等价无穷小替换：$\ln(1+ax) \sim ax$（当$x \rightarrow 0$时），$\sin bx \sim bx$（当$x \rightarrow 0$时）。
2. 替换后约分，直接得到结果。

步骤1：识别等价无穷小形式
当$x \rightarrow 0$时：

• $\ln(1+3x) \sim 3x$
• $\sin 2x \sim 2x$

步骤2：替换并化简
将原式中的分子和分母分别替换为等价无穷小：
$\lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {\ln (1+3x)}{\sin 2x} = \lim _{x\rightarrow 0}\dfrac {3x}{2x} = \lim _{x\rightarrow 0} \dfrac{3}{2} = \dfrac{3}{2}$

验证（洛必达法则）
若使用洛必达法则，对分子分母分别求导：

• 分子导数：$\dfrac{d}{dx} \ln(1+3x) = \dfrac{3}{1+3x}$
• 分母导数：$\dfrac{d}{dx} \sin 2x = 2\cos 2x$

代入$x=0$：
$\lim _{x\rightarrow 0} \dfrac{3/(1+3x)}{2\cos 2x} = \dfrac{3}{2 \cdot 1} = \dfrac{3}{2}$