题目

设(X,Y)sim f(x,y)=} x^2+(1)/(3)xy, & 0leq xleq1,0leq yleq2 0, & 其他 = () A. (65)/(72)B. (7)/(72)C. (1)/(72)D. (71)/(72)

设$(X,Y)\sim f(x,y)=\begin{cases} x^2+\frac{1}{3}xy, & 0\leq x\leq1,0\leq y\leq2 \\ 0, & 其他 \end{cases}$, 则 $P\{X+Y\geq1\}=$ ()

  • A. $\frac{65}{72}$
  • B. $\frac{7}{72}$
  • C. $\frac{1}{72}$
  • D. $\frac{71}{72}$

题目解答

答案

为了求解 $ P\{X+Y \ge 1\} $，我们需要计算在区域 $ X+Y \ge 1 $ 内的联合概率密度函数 $ f(x, y) $ 的积分。首先，我们找到 $ P\{X+Y < 1\} $，然后用 $ 1 $ 减去这个概率。 联合概率密度函数 $ f(x, y) $ 为： \[ f(x, y) = \begin{cases} x^2 + \frac{1}{3}xy, & 0 \le x \le 1, 0 \le y \le 2 \\ 0, & \text{其他} \end{cases} \] 区域 $ X+Y < 1 $ 可以表示为 $ 0 \le x \le 1 $ 和 $ 0 \le y \le 1-x $。因此，我们有： \[ P\{X+Y < 1\} = \int_0^1 \int_0^{1-x} \left( x^2 + \frac{1}{3}xy \right) \, dy \, dx \] 我们先对 $ y $ 积分： \[ \int_0^{1-x} \left( x^2 + \frac{1}{3}xy \right) \, dy = x^2 \int_0^{1-x} 1 \, dy + \frac{1}{3}x \int_0^{1-x} y \, dy \] \[ = x^2 (1-x) + \frac{1}{3}x \left[ \frac{y^2}{2} \right]_0^{1-x} \] \[ = x^2 (1-x) + \frac{1}{3}x \cdot \frac{(1-x)^2}{2} \] \[ = x^2 (1-x) + \frac{x(1-x)^2}{6} \] 现在，我们对 $ x $ 积分： \[ P\{X+Y < 1\} = \int_0^1 \left( x^2 (1-x) + \frac{x(1-x)^2}{6} \right) \, dx \] \[ = \int_0^1 \left( x^2 - x^3 + \frac{x(1-2x+x^2)}{6} \right) \, dx \] \[ = \int_0^1 \left( x^2 - x^3 + \frac{x}{6} - \frac{2x^2}{6} + \frac{x^3}{6} \right) \, dx \] \[ = \int_0^1 \left( x^2 - \frac{1}{3}x^2 - x^3 + \frac{1}{6}x^3 + \frac{1}{6}x \right) \, dx \] \[ = \int_0^1 \left( \frac{2}{3}x^2 - \frac{5}{6}x^3 + \frac{1}{6}x \right) \, dx \] \[ = \left[ \frac{2}{3} \cdot \frac{x^3}{3} - \frac{5}{6} \cdot \frac{x^4}{4} + \frac{1}{6} \cdot \frac{x^2}{2} \right]_0^1 \] \[ = \left[ \frac{2x^3}{9} - \frac{5x^4}{24} + \frac{x^2}{12} \right]_0^1 \] \[ = \frac{2}{9} - \frac{5}{24} + \frac{1}{12} \] 为了合并这些分数，我们找到一个共同的分母，即 72： \[ \frac{2}{9} = \frac{16}{72}, \quad \frac{5}{24} = \frac{15}{72}, \quad \frac{1}{12} = \frac{6}{72} \] \[ \frac{2}{9} - \frac{5}{24} + \frac{1}{12} = \frac{16}{72} - \frac{15}{72} + \frac{6}{72} = \frac{7}{72} \] 因此， $ P\{X+Y < 1\} = \frac{7}{72} $。所以， $ P\{X+Y \ge 1\} $ 为： \[ P\{X+Y \ge 1\} = 1 - P\{X+Y < 1\} = 1 - \frac{7}{72} = \frac{65}{72} \] 答案是 $\boxed{A}$。

解析

本题考查二维连续型随机变量的概率计算，解题思路是通过计算联合概率密度函数在特定区域上的二重积分来求解概率。为了简化计算，我们先计算$P\{X + Y < 1\}$，再用$1$减去该概率得到$P\{X + Y \geq 1\}$。

  1. 确定积分区域：
    • 已知联合概率密度函数$f(x,y)=\begin{cases} x^2+\frac{1}{3}xy, & 0\leq x\leq1,0\leq y\leq2 \\ 0, & 其他 \end{cases}$。
    • 区域$X + Y < 1$可表示为$0\leq x\leq1$和$0\leq y\leq 1 - x$。
  2. 计算$P\{X + Y < 1\}$：
    • 根据二维连续型随机变量概率的计算公式$P\{(X,Y)\in D\}=\iint_D f(x,y)dxdy$，可得$P\{X + Y < 1\}=\int_0^1\int_0^{1 - x}(x^2+\frac{1}{3}xy)dydx$。
    • 先对$y$积分：
      • $\int_0^{1 - x}(x^2+\frac{1}{3}xy)dy=x^2\int_0^{1 - x}1dy+\frac{1}{3}x\int_0^{1 - x}ydy$。
      • 根据积分公式$\int 1dy=y+C$和$\int ydy=\frac{1}{2}y^2+C$，可得$x^2\int_0^{1 - x}1dy=x^2(1 - x)$，$\frac{1}{3}x\int_0^{1 - x}ydy=\frac{1}{3}x\cdot\frac{(1 - x)^2}{2}$。
      • 所以$\int_0^{1 - x}(x^2+\frac{1}{3}xy)dy=x^2(1 - x)+\frac{x(1 - x)^2}{6}$。
    • 再对$x$积分：
      • $P\{X + Y < 1\}=\int_0^1(x^2(1 - x)+\frac{x(1 - x)^2}{6})dx$。
      • 展开被积函数：$x^2(1 - x)+\frac{x(1 - x)^2}{6}=x^2 - x^3+\frac{x(1 - 2x + x^2)}{6}=x^2 - x^3+\frac{x}{6}-\frac{2x^2}{6}+\frac{x^3}{6}=\frac{2}{3}x^2-\frac{5}{6}x^3+\frac{1}{6}x$。
      • 根据积分公式$\int x^n dx=\frac{1}{n + 1}x^{n + 1}+C(n\neq -1)$，可得$\int_0^1(\frac{2}{3}x^2-\frac{5}{6}x^3+\frac{1}{6}x)dx=[\frac{2}{3}\cdot\frac{x^3}{3}-\frac{5}{6}\cdot\frac{x^4}{4}+\frac{1}{6}\cdot\frac{x^2}{2}]_0^1$。
      • 计算定积分：$[\frac{2x^3}{9}-\frac{5x^4}{24}+\frac{x^2}{12}]_0^1=\frac{2}{9}-\frac{5}{24}+\frac{1}{12}$。
      • 通分计算：$\frac{2}{9}-\frac{5}{24}+\frac{1}{12}=\frac{16}{72}-\frac{15}{72}+\frac{6}{72}=\frac{7}{72}$。
  3. 计算$P\{X + Y \geq 1\}$：
    • 根据概率的性质$P\{X + Y \geq 1\}=1 - P\{X + Y < 1\}$。
    • 所以$P\{X + Y \geq 1\}=1 - \frac{7}{72}=\frac{65}{72}$。