题目

习近平总书记指出“没有全民健康,就没有全面小康”,全民健身被越来越多的人接纳，人们的健身方式更加多元，健身场地更加丰富，沿河跑步也成为一种时尚。九年级学生小明在河边跑步时，决定用数学知识计算河的宽度，如图是一条河的示意图，小明 沿河岸GH跑步，对岸EF上有两棵大树A，B，当小明跑到C处时，测得大树A在北偏东53°方向，小明继续跑步5分钟到达D处，此时大树B刚好在北偏西45° 方向，已知EF∥GH，AB=50m，小明跑步的平均速度是每分钟100m，请根据以上数据求出该段河的宽度.(结果精确到0.1m，参考数据: sin37°≈加，cos37°≈加，tan37°≈加，加≈1.41）加

习近平总书记指出“没有全民健康,就没有全面小康”,全民健身被越来越多的人接纳，人们的健身方式更加多元，健身场地更加丰富，沿河跑步也成为一种时尚。九年级学生小明在河边跑步时，决定用数学知识计算河的宽度，如图是一条河的示意图，小明 沿河岸GH跑步，对岸EF上有两棵大树A，B，当小明跑到C处时，测得大树A在北偏东53°方向，小明继续跑步5分钟到达D处，此时大树B刚好在北偏西45° 方向，已知EF∥GH，AB=50m，小明跑步的平均速度是每分钟100m，请根据以上数据求出该段河的宽度.(结果精确到0.1m，参考数据: sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈，≈1.41）

题目解答

答案

解：过点A作AM⊥CD，垂足为M,过点B作N⊥CD，垂足为N,

由题意得:AB=MN=50m，AM=BN,

CD=5×100=500m,

∠ACM=90°-53°=37°,

∠BDN = 90°- 45°= 45°,

设AM=BN=x m,

在Rt△ACM中，CM=≈=x(m)，

在Rt△BND中，DN==x(m)，

∵CM+MN+DN=CD,

∴x+50+x=500

解得：x≈192.9，

∴AM=BN≈192.9m，

∴该段河的宽度为192.9m.

解析

步骤 1：构造辅助线
过点A作AM⊥CD，垂足为M，过点B作BN⊥CD，垂足为N。这样，AM和BN就是河的宽度，也是我们要计算的值。

步骤 2：确定已知条件
已知AB=50m，小明跑步的平均速度是每分钟100m，小明从C到D跑步5分钟，因此CD=5×100=500m。另外，∠ACM=90°-53°=37°，∠BDN=90°-45°=45°。

步骤 3：设未知数并建立方程
设AM=BN=x m。在Rt△ACM中，CM=AM tan37°≈x 3/4=$\dfrac {4}{3}$x(m)。在Rt△BND中，DN=BN tan45°=x(m)。因为CM+MN+DN=CD，所以$\dfrac {4}{3}$x+50+x=500。

步骤 4：解方程
解方程$\dfrac {4}{3}$x+50+x=500，得到x≈192.9m。