题目

2.四阶行列式第4列元素分别为1,1,2,3，它们对应的余子式分别为2,3,-1,-1, 则此行列式的值为____

2.四阶行列式第4列元素分别为1,1,2,3，它们对应的余子式分别为2,3,-1,-1, 则此行列式的值为____

题目解答

答案

设四阶行列式第4列元素分别为 $a_{14} = 1$，$a_{24} = 1$，$a_{34} = 2$，$a_{44} = 3$，对应的余子式分别为 $M_{14} = 2$，$M_{24} = 3$，$M_{34} = -1$，$M_{44} = -1$。 代数余子式 $A_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}$，计算得： - $A_{14} = (-1)^{1+4} \times 2 = -2$ - $A_{24} = (-1)^{2+4} \times 3 = 3$ - $A_{34} = (-1)^{3+4} \times (-1) = 1$ - $A_{44} = (-1)^{4+4} \times (-1) = -1$ 按第4列展开行列式： \[ D = a_{14}A_{14} + a_{24}A_{24} + a_{34}A_{34} + a_{44}A_{44} = 1 \times (-2) + 1 \times 3 + 2 \times 1 + 3 \times (-1) = -2 + 3 + 2 - 3 = 0 \] **答案：** $\boxed{0}$

解析

考查要点：本题主要考查行列式按列展开的计算方法，涉及代数余子式的概念及展开公式的应用。

解题核心思路：

  1. 代数余子式的计算：根据余子式 $M_{ij}$，代数余子式 $A_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}$。
  2. 行列式展开：按第4列展开，将每个元素与其对应的代数余子式相乘后求和。

破题关键点：

  • 正确计算代数余子式的符号，注意 $(-1)^{i+j}$ 的指数。
  • 准确代入数值，避免计算错误。

  1. 计算代数余子式

    • $A_{14} = (-1)^{1+4} \cdot M_{14} = (-1)^5 \cdot 2 = -2$
    • $A_{24} = (-1)^{2+4} \cdot M_{24} = (-1)^6 \cdot 3 = 3$
    • $A_{34} = (-1)^{3+4} \cdot M_{34} = (-1)^7 \cdot (-1) = 1$
    • $A_{44} = (-1)^{4+4} \cdot M_{44} = (-1)^8 \cdot (-1) = -1$

  2. 按第4列展开行列式
    $D = a_{14}A_{14} + a_{24}A_{24} + a_{34}A_{34} + a_{44}A_{44}$
    代入数值：
    $D = 1 \cdot (-2) + 1 \cdot 3 + 2 \cdot 1 + 3 \cdot (-1) = -2 + 3 + 2 - 3 = 0$