题目
设曲线L为圆周 ^2+(y)^2=1, 则曲线积分 (int )_(t)((x)^2+(y)^2-3x)ds 为
题目解答
答案
解析
步骤 1：参数化曲线
曲线L为圆周 ${x}^{2}+{y}^{2}=1$，可以参数化为 $x=\cos t$，$y=\sin t$，其中 $t$ 的范围为 $[0,2\pi]$。
步骤 2：计算 $ds$
$ds$ 是曲线L上的一小段弧长，对于参数化曲线，$ds=\sqrt{(\frac{dx}{dt})^2+(\frac{dy}{dt})^2}dt$。对于圆周，$ds=dt$。
步骤 3：计算曲线积分
将参数化后的曲线代入曲线积分中，得到 ${\int }_{L}({x}^{2}+{y}^{2}-3x)ds={\int }_{0}^{2\pi}(\cos^2 t+\sin^2 t-3\cos t)dt$。
步骤 4：计算积分
利用三角恒等式 $\cos^2 t+\sin^2 t=1$，得到 ${\int }_{0}^{2\pi}(1-3\cos t)dt$。计算积分，得到 $2\pi$。
曲线L为圆周 ${x}^{2}+{y}^{2}=1$，可以参数化为 $x=\cos t$，$y=\sin t$，其中 $t$ 的范围为 $[0,2\pi]$。
步骤 2：计算 $ds$
$ds$ 是曲线L上的一小段弧长，对于参数化曲线，$ds=\sqrt{(\frac{dx}{dt})^2+(\frac{dy}{dt})^2}dt$。对于圆周，$ds=dt$。
步骤 3：计算曲线积分
将参数化后的曲线代入曲线积分中，得到 ${\int }_{L}({x}^{2}+{y}^{2}-3x)ds={\int }_{0}^{2\pi}(\cos^2 t+\sin^2 t-3\cos t)dt$。
步骤 4：计算积分
利用三角恒等式 $\cos^2 t+\sin^2 t=1$，得到 ${\int }_{0}^{2\pi}(1-3\cos t)dt$。计算积分，得到 $2\pi$。