题目
8、判断 若A~B，则对于任意常数k，kE+A~kE+B.A. √B. ×
8、判断 若A~B，则对于任意常数k，kE+A~kE+B.
A. √
B. ×
题目解答
答案
A. √
解析
步骤 1：理解相似矩阵的定义
相似矩阵的定义是：如果存在一个可逆矩阵 $P$，使得 $B = P^{-1}AP$，则矩阵 $A$ 和矩阵 $B$ 是相似的，记作 $A \sim B$。
步骤 2：应用相似矩阵的性质
已知 $A \sim B$，即存在可逆矩阵 $P$ 使得 $B = P^{-1}AP$。对于任意常数 $k$，考虑矩阵 $kE + A$ 和 $kE + B$。
步骤 3：验证 $kE + A$ 和 $kE + B$ 的相似性
\[ kE + B = kE + P^{-1}AP = P^{-1}(kE)P + P^{-1}AP = P^{-1}(kE + A)P \]
由于 $P^{-1}(kE + A)P$ 表明 $kE + B$ 可由 $kE + A$ 经过相似变换得到，故 $kE + A \sim kE + B$。
相似矩阵的定义是：如果存在一个可逆矩阵 $P$，使得 $B = P^{-1}AP$，则矩阵 $A$ 和矩阵 $B$ 是相似的，记作 $A \sim B$。
步骤 2：应用相似矩阵的性质
已知 $A \sim B$，即存在可逆矩阵 $P$ 使得 $B = P^{-1}AP$。对于任意常数 $k$，考虑矩阵 $kE + A$ 和 $kE + B$。
步骤 3：验证 $kE + A$ 和 $kE + B$ 的相似性
\[ kE + B = kE + P^{-1}AP = P^{-1}(kE)P + P^{-1}AP = P^{-1}(kE + A)P \]
由于 $P^{-1}(kE + A)P$ 表明 $kE + B$ 可由 $kE + A$ 经过相似变换得到，故 $kE + A \sim kE + B$。