设A为n阶对称矩阵,B为n阶反对称矩阵,证明;(1)AB-BA为对称矩阵;(2)AB+BA为反对称矩阵。

考查要点：本题主要考查对称矩阵和反对称矩阵的性质，以及矩阵转置运算的应用。
解题核心思路：

1. 利用转置运算验证矩阵的对称性或反对称性。
2. 代入已知条件：对称矩阵满足$A^T = A$，反对称矩阵满足$B^T = -B$。
3. 化简表达式，通过代数运算验证结论。

破题关键点：

• 转置运算的分配律：$(XY)^T = Y^T X^T$。
• 符号处理：注意反对称矩阵转置后符号的变化，以及运算中的符号分配。

第（1）题

目标：证明$AB - BA$为对称矩阵。
步骤：

1. 计算转置：
   $(AB - BA)^T = (AB)^T - (BA)^T = B^T A^T - A^T B^T.$
2. 代入已知条件：
   • $A^T = A$（对称矩阵），
   • $B^T = -B$（反对称矩阵）。
     代入后得：
     $(-B)A - A(-B) = -BA + AB.$
3. 化简结果：
   $-BA + AB = AB - BA.$
   因此，$(AB - BA)^T = AB - BA$，说明$AB - BA$是对称矩阵。

第（2）题

目标：证明$AB + BA$为反对称矩阵。
步骤：

1. 计算转置：
   $(AB + BA)^T = (AB)^T + (BA)^T = B^T A^T + A^T B^T.$
2. 代入已知条件：
   • $A^T = A$，
   • $B^T = -B$。
     代入后得：
     $(-B)A + A(-B) = -BA - AB.$
3. 化简结果：
   $-BA - AB = -(AB + BA).$
   因此，$(AB + BA)^T = -(AB + BA)$，说明$AB + BA$是反对称矩阵。