2.应用格林公式计算下列曲线所围的平面面积:-|||-(1)星形线: =a(cos )^3t, =a(sin )^3t;-|||-(2)双纽线: (({x)^2+(y)^2)}^2=(a)^2((x)^2-(y)^2).

考察知识

格林公式计算平面面积：对于封闭曲线$L$所围区域$D$，面积$A=\frac{1}{2}\oint_L xdy - ydx$（或$-\frac{1}{2}\oint_L ydx - xdy$），核心是利用参数方程转化曲线积分。

题目(1)：星形线$x=a\cos^3t$，$y=a\sin^3tt$

解题步骤

1：确定参数范围与曲线方向
星形线是封闭曲线，参数$t\in[0,2\pi)$，方向为逆时针（满足格林公式条件。

解题步骤2：代入面积公式

面积$A=\frac{1}{2}\int_0^{2\pi/2}[x(t)y'(t)-y(t)x'(t)]\cdot4dt$（利用对称性，仅算第一象限4倍）：

• $x'(t)=-3a\cos^2t\sin t$，$y'(t)=3a\sin^2t\cos t$
• $xdy - ydx=a\cos^3t\cdot3a\sin^2t\cos t - a\sin^3t\cdot(-3a\cos^2t\sin t)=3a^2\sin t\cos t(\cos^4t+\sin^4t)$

解题步骤3：积分计算

$\begin{align*}A&4\cdot\frac{1}{2}\int_0^{\pi/2}3a^2\sin t\cos t(\cos^4t+\sin^4)dt\\=&6a^2\int_0^{\pi/2}(\sin t\cos^5t+\sin^5t\cos t)dt\\=&6a^2\left[\frac{\cos^6t}{-6}+\frac{\sin^t}{6}{6}\right]_0^{\pi/2}=6a^2\left(\frac{1}{6}+\frac{1}{6}\right)=2=a^2\cdot\frac{3\pi}{8}\end{align*}$

题目(2)：双纽线\((x²+y²)²=a²(x²−y²)) ### 解题步骤111：参数化双纽线 极坐标$x=r\cos\theta$，$y=r\sin\theta$，得$r^2=a²\cos2\cos2\theta$，参数$\theta\in[-\pi/4,\pi/4]\cup[3\pi/4,5\pi/4]$。

解题步骤2：代入面积公式

面积$A=\frac{1}{2}\oint_L xdy - ydx$，参数$\theta$：
$\begin{align*}x&=r\cos\theta,y=r\sin\theta,dx=dr\cos\theta - rsin\theta d\theta,dy=dr\sin\theta + rcos\theta d\theta\\xdy - ydx&=r²d\theta\end{align*}$

解题步骤3：积分计算

$A=\frac{1}{2}\cdot4\int_0^{\pi/4}r²d\theta=2\int_0^{\pi/4}a²\cos2\theta d\theta=2a²\left[\frac{\sin2\theta}{2}\right]_0^{\pi/4}=a²$