题目
[题目]-|||-求函数 (x)=(x)^4-2(x)^2+2 的值域.
题目解答
答案
解析
步骤 1： 完成平方
函数 $f(x)={x}^{4}-2{x}^{2}+2$ 可以通过完成平方来简化。我们注意到 ${x}^{4}-2{x}^{2}$ 可以写成 ${({x}^{2}-1)}^{2}-1$，因此原函数可以写成 $f(x)={({x}^{2}-1)}^{2}+1$。
步骤 2： 确定值域
由于平方项 ${({x}^{2}-1)}^{2}$ 总是非负的，即 ${({x}^{2}-1)}^{2}\geqslant 0$，因此 $f(x)={({x}^{2}-1)}^{2}+1\geqslant 1$。这意味着函数的最小值为 1，且随着 ${x}^{2}$ 的增加，函数值可以无限增加。
步骤 3： 确定值域范围
由于函数值可以无限增加，但最小值为 1，因此函数的值域为 $[1,+\infty)$。
函数 $f(x)={x}^{4}-2{x}^{2}+2$ 可以通过完成平方来简化。我们注意到 ${x}^{4}-2{x}^{2}$ 可以写成 ${({x}^{2}-1)}^{2}-1$，因此原函数可以写成 $f(x)={({x}^{2}-1)}^{2}+1$。
步骤 2： 确定值域
由于平方项 ${({x}^{2}-1)}^{2}$ 总是非负的，即 ${({x}^{2}-1)}^{2}\geqslant 0$，因此 $f(x)={({x}^{2}-1)}^{2}+1\geqslant 1$。这意味着函数的最小值为 1，且随着 ${x}^{2}$ 的增加，函数值可以无限增加。
步骤 3： 确定值域范围
由于函数值可以无限增加，但最小值为 1，因此函数的值域为 $[1,+\infty)$。