题目
曲面 ^2+(y)^2-4(z)^2=1在点 ^2+(y)^2-4(z)^2=1 处的切平面方程 ^2+(y)^2-4(z)^2=1 ( A ) ^2+(y)^2-4(z)^2=1 ; ( B )^2+(y)^2-4(z)^2=1 ( C ) ^2+(y)^2-4(z)^2=1 ; （D）^2+(y)^2-4(z)^2=1
曲面 
在点 
处的切平面方程 
( A ) 
;
( B )
( C ) 
;
（D）
题目解答
答案
令
，
且
;
则曲面在点处的法向量为
;因此 曲面 在点 处的切平面方程为
即;
故答案为A。
解析
步骤 1：定义函数
令 $F(x,y,z) = x^2 + y^2 - 4z^2 - 1$，则曲面 ${x}^{2}+{y}^{2}-4{z}^{2}=1$ 可以表示为 $F(x,y,z) = 0$。
步骤 2：计算偏导数
计算 $F(x,y,z)$ 关于 $x$、$y$、$z$ 的偏导数：
${F}_{x} = 2x$，${F}_{y} = 2y$，${F}_{z} = -8z$。
步骤 3：求法向量
在点 (1,2,1) 处，偏导数的值为：
${F}_{x}(1,2,1) = 2$，${F}_{y}(1,2,1) = 4$，${F}_{z}(1,2,1) = -8$。
因此，曲面在点 (1,2,1) 处的法向量为 $\vec{n} = (2,4,-8)$。
步骤 4：求切平面方程
根据法向量 $\vec{n} = (2,4,-8)$，可以写出切平面方程为：
$2(x-1) + 4(y-2) - 8(z-1) = 0$。
化简得：$x + 2y - 4z = 1$。
令 $F(x,y,z) = x^2 + y^2 - 4z^2 - 1$，则曲面 ${x}^{2}+{y}^{2}-4{z}^{2}=1$ 可以表示为 $F(x,y,z) = 0$。
步骤 2：计算偏导数
计算 $F(x,y,z)$ 关于 $x$、$y$、$z$ 的偏导数：
${F}_{x} = 2x$，${F}_{y} = 2y$，${F}_{z} = -8z$。
步骤 3：求法向量
在点 (1,2,1) 处，偏导数的值为：
${F}_{x}(1,2,1) = 2$，${F}_{y}(1,2,1) = 4$，${F}_{z}(1,2,1) = -8$。
因此，曲面在点 (1,2,1) 处的法向量为 $\vec{n} = (2,4,-8)$。
步骤 4：求切平面方程
根据法向量 $\vec{n} = (2,4,-8)$，可以写出切平面方程为：
$2(x-1) + 4(y-2) - 8(z-1) = 0$。
化简得：$x + 2y - 4z = 1$。