14. (7.0分) 幂级数sum_(n=0)^infty(n+1)x^n的收敛域是( ).A (-1,1)B (-1,1]C [-1,1)D [-1,1]

幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} (n+1)x^n$ 的收敛半径 $R$ 可通过比值审敛法求得：
$\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \frac{n+2}{n+1} = 1 \quad \Rightarrow \quad R = 1.$
级数在区间 $(-1, 1)$ 内绝对收敛。
端点分析：

• 当 $x = 1$ 时，级数变为 $\sum_{n=0}^{\infty} (n+1)$，发散（调和级数变体）。
• 当 $x = -1$ 时，级数变为 $\sum_{n=0}^{\infty} (n+1)(-1)^n$，发散（通项不趋于零）。

结论： 收敛域为 $(-1, 1)$，对应选项 A。

$\boxed{A}$