求下列曲线的凹凸区间及拐点：(1) y = x^3 - 6x^2 + 12x + 4;(2) y = (1)/(x+3);(3) y = x^2 - x^3;(4) y = xe^-x;(5) y = x^3 - 5x^2 + 3x - 5;(6) y = ln(x^2 + 1).

本题主要考查利用函数的二阶导数来确定曲线的凹凸区间和拐点。解题的一般步骤如下：

1. 求出函数的一阶导数 $y'$。
2. 对一阶导数再求导，得到二阶导数 $y''$。
3. 令 $y'' = 0$，求出方程的解以及二阶导数不存在的点，这些点将定义域分成若干区间。
4. 判断二阶导数在各个区间内的正负性：
   • 若 $y''>0$，则曲线在该区间上是凹的。
   • 若 $y''<0$，则曲线在该区间上是凸的。
5. 二阶导数为零且在该点两侧二阶导数异号的点为拐点。

(1) $y = x^3 - 6x^2 + 12x + 4$

• 首先求一阶导数：
  根据求导公式 $(X^n)^\prime=nX^{n - 1}$，可得 $y^\prime=(x^3 - 6x^2 + 12x + 4)^\prime=3x^2 - 12x + 12$。
• 然后求二阶导数：
  $y''=(3x^2 - 12x + 12)^\prime=6x - 12$。
• 令 $y'' = 0$，即 $6x - 12 = 0$，解方程可得：
  $6x=12$，解得 $x = 2$。
• 当 $x<2$ 时，$y''=6x - 12<0$，所以曲线在 $(-\infty, 2)$ 上是凸的。
• 当 $x>2$ 时，$y''=6x - 12>0$，所以曲线在 $(2, +\infty)$ 上是凹的。
• 当 $x = 2$ 时，$y=2^3 - 6\times2^2 + 12\times2 + 4=8 - 24 + 24 + 4 = 12$，所以拐点为 $(2, 12)$。

(2) $y = \frac{1}{x + 3}=(x + 3)^{-1}$

• 求一阶导数：
  根据求导公式 $(X^n)^\prime=nX^{n - 1}$ 以及复合函数求导法则，可得 $y^\prime=-1\times(x + 3)^{-2}\times1=-\frac{1}{(x + 3)^2}$。
• 求二阶导数：
  $y''=-(-2)\times(x + 3)^{-3}\times1=\frac{2}{(x + 3)^3}$。
• 令 $y'' = 0$，方程 $\frac{2}{(x + 3)^3}=0$ 无解。
• 当 $x<-3$ 时，$(x + 3)^3<0$，则 $y''=\frac{2}{(x + 3)^3}<0$，曲线在 $(-\infty, -3)$ 上是凸的。
• 当 $x>-3$ 时，$(x + 3)^3>0$，则 $y''=\frac{2}{(x + 3)^3}>0$，曲线在 $(-3, +\infty)$ 上是凹的。
• 因为 $y''$ 恒不为零，所以无拐点。

(3) $y = x^2 - x^3$

• 求一阶导数：
  $y^\prime=(x^2 - x^3)^\prime=2x - 3x^2$。
• 求二阶导数：
  $y''=(2x - 3x^2)^\prime=2 - 6x$。
• 令 $y'' = 0$，即 $2 - 6x = 0$，解方程可得：
  $6x=2$，解得 $x = \frac{1}{3}$。
• 当 $x<\frac{1}{3}$ 时，$y''=2 - 6x>0$，曲线在 $(-\infty, \frac{1}{3})$ 上是凹的。
• 当 $x>\frac{1}{3}$ 时，$y''=2 - 6x<0$，曲线在 $(\frac{1}{3}, +\infty)$ 上是凸的。
• 当 $x = \frac{1}{3}$ 时，$y=(\frac{1}{3})^2 - (\frac{1}{3})^3=\frac{1}{9}-\frac{1}{27}=\frac{3 - 1}{27}=\frac{2}{27}$，所以拐点为 $(\frac{1}{3}, \frac{2}{27})$。

(4) $y = xe^{-x}$

• 求一阶导数：
  根据乘积的求导法则 $(uv)^\prime=u^\prime v + uv^\prime$，其中 $u = x$，$v = e^{-x}$，$u^\prime = 1$，$v^\prime=-e^{-x}$，可得 $y^\prime=e^{-x}-xe^{-x}=(1 - x)e^{-x}$。
• 求二阶导数：
  $y''=(1 - x)^\prime e^{-x}+(1 - x)(e^{-x})^\prime=-e^{-x}-(1 - x)e^{-x}=(x - 2)e^{-x}$。
• 令 $y'' = 0$，即 $(x - 2)e^{-x}=0$，因为 $e^{-x}\neq0$，所以 $x - 2 = 0$，解得 $x = 2$。
• 当 $x<2$ 时，$x - 2<0$，$e^{-x}>0$，则 $y''=(x - 2)e^{-x}<0$，曲线在 $(-\infty, 2)$ 上是凸的。
• 当 $x>2$ 时，$x - 2>0$，$e^{-x}>0$，则 $y''=(x - 2)e^{-x}>0$，曲线在 $(2, +\infty)$ 上是凹的。
• 当 $x = 2$ 时，$y=2e^{-2}=\frac{2}{e^2}$，所以拐点为 $(2, \frac{2}{e^2})$。

(5) $y = x^3 - 5x^2 + 3x - 5$

• 求一阶导数：
  $y^\prime=(x^3 - 5x^2 + 3x - 5)^\prime=3x^2 - 10x + 3$。
• 求二阶导数：
  $y''=(3x^2 - 10x + 3)^\prime=6x - 10$。
• 令 $y'' = 0$，即 $6x - 10 = 0$，解方程可得：
  $6x=10$，解得 $x = \frac{5}{3}$。
• 当 $x<\frac{5}{3}$ 时，$y''=6x - 10<0$，曲线在 $(-\infty, \frac{5}{3})$ 上是凸的。
• 当 $x>\frac{5}{3}$ 时，$y''=6x - 10>0$，曲线在 $(\frac{5}{3}, +\infty)$ 上是凹的。
• 当 $x = \frac{5}{3}$ 时，$y=(\frac{5}{3})^3 - 5\times(\frac{5}{3})^2 + 3\times\frac{5}{3}-5=\frac{125}{27}-\frac{125}{9}+5 - 5=\frac{125 - 375}{27}=-\frac{250}{27}$，所以拐点为 $(\frac{5}{3}, -\frac{250}{27})$。

(6) $y = \ln(x^2 + 1)$

• 求一阶导数：
  根据复合函数求导法则，$y^\prime=\frac{1}{x^2 + 1}\times2x=\frac{2x}{x^2 + 1}$。
• 求二阶导数：
  根据除法的求导法则 $(\frac{u}{v})^\prime=\frac{u^\prime v - uv^\prime}{v^2}$，其中 $u = 2x$，$v = x^2 + 1$，$u^\prime = 2$，$v^\prime = 2x$，可得 $y''=\frac{2(x^2 + 1)-2x\times2x}{(x^2 + 1)^2}=\frac{2 - 2x^2}{(x^2 + 1)^2}$。
• 令 $y'' = 0$，即 $\frac{2 - 2x^2}{(x^2 + 1)^2}=0$，因为 $(x^2 + 1)^2\neq0$，所以 $2 - 2x^2 = 0$，即 $x^2 = 1$，解得 $x = \pm1$。
• 当 $x<-1$ 时，$2 - 2x^2<0$，则 $y''=\frac{2 - 2x^2}{(x^2 + 1)^2}<0$，曲线在 $(-\infty, -1)$ 上是凸的。
• 当 $-1<x<1$ 时，$2 - 2x^2>0$，则 $y''=\frac{2 - 2x^2}{(x^2 + 1)^2}>0$，曲线在 $(-1, 1)$ 上是凹的。
• 当 $x>1$ 时，$2 - 2x^2<0$，则 $y''=\frac{2 - 2x^2}{(x^2 + 1)^2}<0$，曲线在 $(1, +\infty)$ 上是凸的。
• 当 $x = -1$ 时，$y=\ln((-1)^2 + 1)=\ln 2$；当 $x = 1$ 时，$y=\ln(1^2 + 1)=\ln 2$，所以拐点为 $(-1, \ln 2)$，$(1, \ln 2)$。