6.要造一圆柱形油罐，体积为V，问底半径 r 和高 h 等于多少时，才能使表面积最小？这时底直径与高的比是多少？

步骤 1：确定圆柱体积和表面积的公式
圆柱的体积公式为$V = \pi r^2 h$，其中$r$是底半径，$h$是高。圆柱的表面积公式为$A = 2\pi r^2 + 2\pi rh$，其中$2\pi r^2$是底面积的两倍，$2\pi rh$是侧面积。

步骤 2：用体积公式表示高
由$V = \pi r^2 h$，可以解出$h = \frac{V}{\pi r^2}$。

步骤 3：将高代入表面积公式
将$h = \frac{V}{\pi r^2}$代入$A = 2\pi r^2 + 2\pi rh$，得到$A = 2\pi r^2 + 2\pi r \times \frac{V}{\pi r^2} = 2\pi r^2 + \frac{2V}{r}$。

步骤 4：求导数并找到极值点
对$A$关于$r$求导，得到$A' = 4\pi r - \frac{2V}{r^2}$。令$A' = 0$，解得$r = \sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}$。再对$A'$求导，得到$A'' = 4\pi + \frac{4V}{r^3}$，在$r = \sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}$时，$A'' > 0$，说明$r = \sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}$是极小值点。

步骤 5：计算高
将$r = \sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}$代入$h = \frac{V}{\pi r^2}$，得到$h = 2\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}$。

步骤 6：计算底直径与高的比
底直径为$2r$，所以底直径与高的比为$\frac{2r}{h} = \frac{2\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}}{2\sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}} = 1$。