题目
3.设A为3阶方阵，|A|=(1)/(2)，则|(2A)^-1-5A^*|=____，其中A^*为方阵A的伴随矩阵.
3.设A为3阶方阵，$|A|=\frac{1}{2}$，则|(2A)$^{-1}$-5A$^{*}$|=____，其中A$^{*}$为方阵A的伴随矩阵.
题目解答
答案
由题意，利用矩阵性质可得：
1. $(2A)^{-1} = \frac{1}{2}A^{-1}$；
2. $A^* = |A|A^{-1} = \frac{1}{2}A^{-1}$；
3. 代入原式得：
\[
(2A)^{-1} - 5A^* = \frac{1}{2}A^{-1} - 5 \left( \frac{1}{2}A^{-1} \right) = -2A^{-1}.
\]
4. 计算行列式：
\[
|-2A^{-1}| = (-2)^3 |A^{-1}| = -8 \times \frac{1}{|A|} = -8 \times 2 = -16.
\]
**答案：** $\boxed{-16}$
解析
考查要点：本题主要考查矩阵的逆矩阵、伴随矩阵的性质，以及行列式的运算规则。
解题核心思路：
- 利用伴随矩阵与逆矩阵的关系：当矩阵$A$可逆时，$A^* = |A|A^{-1}$。
- 矩阵数乘的逆矩阵：$(cA)^{-1} = \frac{1}{c}A^{-1}$。
- 行列式的性质：$|kA| = k^n |A|$（$n$为矩阵阶数），以及$|A^{-1}| = \frac{1}{|A|}$。
破题关键点：
- 将$(2A)^{-1}$和$A^*$用$A^{-1}$表示，简化表达式。
- 将原式化简为标量乘以$A^{-1}$，再利用行列式的性质计算。
-
化简$(2A)^{-1}$
根据矩阵数乘的逆矩阵性质：
$(2A)^{-1} = \frac{1}{2}A^{-1}.$ -
化简$A^*$
由伴随矩阵与逆矩阵的关系：
$A^* = |A|A^{-1} = \frac{1}{2}A^{-1}.$ -
代入原式
将$(2A)^{-1}$和$A^*$代入表达式：
$\begin{aligned} (2A)^{-1} - 5A^* &= \frac{1}{2}A^{-1} - 5 \cdot \frac{1}{2}A^{-1} \\ &= \left( \frac{1}{2} - \frac{5}{2} \right)A^{-1} \\ &= -2A^{-1}. \end{aligned}$ -
计算行列式
利用行列式的性质：
$\begin{aligned} |-2A^{-1}| &= (-2)^3 |A^{-1}| \quad (\text{行列式标量乘法性质}) \\ &= -8 \cdot \frac{1}{|A|} \quad (\text{因}|A^{-1}| = \frac{1}{|A|}) \\ &= -8 \cdot 2 \quad (\text{已知}|A| = \frac{1}{2}) \\ &= -16. \end{aligned}$