求 u=x²+2xy-y² 的共轭调和函数 v(x,y),并使v(0,0)=1

步骤 1：利用柯西-黎曼方程
根据柯西-黎曼方程，我们有：
\[ u_x = v_y \]
\[ u_y = -v_x \]
其中，\( u_x \) 和 \( u_y \) 分别表示 \( u \) 对 \( x \) 和 \( y \) 的偏导数，\( v_x \) 和 \( v_y \) 分别表示 \( v \) 对 \( x \) 和 \( y \) 的偏导数。

步骤 2：计算 \( u_x \) 和 \( u_y \)
首先计算 \( u \) 的偏导数：
\[ u_x = \frac{\partial}{\partial x}(x^2 + 2xy - y^2) = 2x + 2y \]
\[ u_y = \frac{\partial}{\partial y}(x^2 + 2xy - y^2) = 2x - 2y \]

步骤 3：求解 \( v_y \) 和 \( v_x \)
根据柯西-黎曼方程，我们有：
\[ v_y = u_x = 2x + 2y \]
\[ v_x = -u_y = -(2x - 2y) = -2x + 2y \]

步骤 4：求解 \( v(x,y) \)
首先，对 \( v_y = 2x + 2y \) 积分，得到：
\[ v(x,y) = \int (2x + 2y) \, dy = 2xy + y^2 + f(x) \]
其中，\( f(x) \) 是关于 \( x \) 的任意函数。

然后，对 \( v_x = -2x + 2y \) 积分，得到：
\[ v(x,y) = \int (-2x + 2y) \, dx = -x^2 + 2xy + g(y) \]
其中，\( g(y) \) 是关于 \( y \) 的任意函数。

将两个表达式合并，得到：
\[ v(x,y) = 2xy + y^2 - x^2 + C \]
其中，\( C \) 是常数。

步骤 5：确定常数 \( C \)
根据条件 \( v(0,0) = 1 \)，代入 \( x = 0 \) 和 \( y = 0 \)：
\[ v(0,0) = 2 \cdot 0 \cdot 0 + 0^2 - 0^2 + C = 1 \]
\[ C = 1 \]