4.设连续型随机变量X的密度函数为:-|||-f(x)= { x, 0leqslant xleqslant 2 0, .-|||-(1) (|2X-1|lt 2)-|||-;(2) E(2X-1) .

考查要点：本题主要考查连续型随机变量的概率计算和期望的求解，涉及绝对值不等式的转化、积分计算以及期望的线性性质。

解题思路：

1. 第（1）题：将绝对值不等式转化为X的取值范围，结合密度函数的定义域确定积分区间，计算定积分得到概率。
2. 第（2）题：利用期望的线性性质，先计算E(X)，再代入公式求解。

关键点：

• 绝对值不等式的转化：注意X的实际取值范围可能限制积分区间。
• 期望的线性性质：E(aX + b) = aE(X) + b，简化计算。

第（1）题

步骤1：解绝对值不等式
由 $|2X - 1| < 2$，得：
$-2 < 2X - 1 < 2 \implies -1 < 2X < 3 \implies -0.5 < X < 1.5.$
但根据密度函数定义域 $0 \leq X \leq 2$，实际有效区间为 $0 \leq X \leq 1.5$。

步骤2：计算概率
概率为密度函数在 $[0, 1.5]$ 上的积分：
$P(0 \leq X \leq 1.5) = \int_{0}^{1.5} \frac{1}{2}x \, dx = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^2}{2} \Big|_{0}^{1.5} = \frac{1}{4} \cdot (1.5)^2 = \frac{9}{16}.$

第（2）题

步骤1：计算E(X)
根据期望公式：
$E(X) = \int_{0}^{2} x \cdot \frac{1}{2}x \, dx = \frac{1}{2} \int_{0}^{2} x^2 \, dx = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^3}{3} \Big|_{0}^{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{8}{3} = \frac{4}{3}.$

步骤2：利用线性性质求E(2X -1)
$E(2X - 1) = 2E(X) - 1 = 2 \cdot \frac{4}{3} - 1 = \frac{8}{3} - \frac{3}{3} = \frac{5}{3}.$