题目
2、复数 1-sqrt(3)i的三角表达式是____.
2、复数$ 1-\sqrt{3}i$的三角表达式是____.
题目解答
答案
1. **计算模**：
$ r = \sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{4} = 2 $。
2. **确定辅角**：
复数位于第四象限，
$\theta = \tan^{-1}\left(\frac{-\sqrt{3}}{1}\right) = -\frac{\pi}{3}$，
或 $\theta = 2\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{3}$。
3. **三角表达式**：
$ z = r(\cos\theta + i\sin\theta) $，
故可表示为
$ 2\left(\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) + i\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)\right) $
或
$ 2\left(\cos\frac{5\pi}{3} + i\sin\frac{5\pi}{3}\right) $。
**答案**：
\[
\boxed{
2\left(\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) + i\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)\right) \quad \text{或} \quad 2\left(\cos\frac{5\pi}{3} + i\sin\frac{5\pi}{3}\right)
}
\]
解析
考查要点：本题主要考查复数的三角表达式的求解，涉及复数的模、辐角的计算以及三角形式的表示方法。
解题核心思路：
- 计算模：利用复数实部和虚部的平方和开平方得到模。
- 确定辐角：根据复数所在象限，结合反正切函数计算辐角，注意调整到标准范围（通常取$[0, 2\pi)$）。
- 代入三角形式：将模和辐角代入三角表达式$z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$。
破题关键点：
- 正确计算模：注意虚部符号不影响模的结果。
- 辐角的象限判断：复数$1 - \sqrt{3}i$位于第四象限，需调整反正切结果到正确角度范围。
步骤1：计算模
复数$1 - \sqrt{3}i$的模为：
$r = \sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$
步骤2：确定辐角
复数位于第四象限，虚部为负，实部为正。计算参考角：
$\theta_{\text{参考}} = \tan^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{1}\right) = \frac{\pi}{3}$
因此，辐角有两种表示方式：
- 负角度：$\theta = -\frac{\pi}{3}$（直接由虚部符号确定）。
- 正角度：$\theta = 2\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{3}$（调整到$[0, 2\pi)$范围）。
步骤3：三角表达式
将模和辐角代入三角形式：
$z = 2\left(\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) + i\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)\right) \quad \text{或} \quad 2\left(\cos\frac{5\pi}{3} + i\sin\frac{5\pi}{3}\right)$