证明：(1) z 平面上的直线方程可以写成 alpha bar(z) + bar(alpha) z = c （alpha 是非零复常数, c 是实常数）；(2) z 平面上的圆周方程可以写成 A z bar(z) + beta bar(z) + bar(beta) z + C = 0，其中 A, C 为实数, A neq 0, beta 为复数, 且 |beta|^2 > AC.
证明：(1) $z$ 平面上的直线方程可以写成 $\alpha \bar{z} + \bar{\alpha} z = c$ （$\alpha$ 是非零复常数, $c$ 是实常数）； (2) $z$ 平面上的圆周方程可以写成 $A z \bar{z} + \beta \bar{z} + \bar{\beta} z + C = 0$，其中 $A, C$ 为实数, $A \neq 0$, $\beta$ 为复数, 且 $|\beta|^2 > AC$.
题目解答
答案
(1) 设 $z = x + yi$，$a = p + qi$，则 $\bar{z} = x - yi$，$\bar{a} = p - qi$。代入方程 $a \bar{z} + \bar{a} z = c$，得
$(p + qi)(x - yi) + (p - qi)(x + yi) = 2(px + qy) = c$
即 $px + qy = \frac{c}{2}$，表示直线方程。
结论： 直线方程可写为 $a \bar{z} + \bar{a} z = c$，其中 $a$ 非零复常数，$c$ 实常数。
(2) 圆周方程 $(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$ 可改写为
$x^2 + y^2 - 2hx - 2ky + h^2 + k^2 - r^2 = 0$
令 $A = 1$，$C = h^2 + k^2 - r^2$，$\beta = h + ki$，则
$A z \bar{z} + \beta \bar{z} + \bar{\beta} z + C = 0$
一般形式中，$A$、$C$ 实数，$A \neq 0$，$\beta$ 复数，且 $|\beta|^2 > AC$ 确保方程表示圆。
结论： 圆周方程可写为 $A z \bar{z} + \beta \bar{z} + \bar{\beta} z + C = 0$，其中 $A$、$C$ 实数，$A \neq 0$，$\beta$ 复数，$|\beta|^2 > AC$。
$\boxed{\begin{array}{cc}\text{(1) } a \bar{z} + \bar{a} z = c, & a \text{ 非零复常数，} c \text{ 实常数} \\\text{(2) } A z \bar{z} + \beta \bar{z} + \bar{\beta} z + C = 0, & A, C \text{ 实数，} A \neq 0, \beta \text{ 复数，} |\beta|^2 > AC\end{array}}$