一、一盒糖不到30颗，分给小朋友，如果分给每人6颗，还剩2颗；如果分给每人7颗，还少2颗。这盒糖有多少颗?(8分)

本题考查的是利用同余方程来解决实际问题。解题的关键思路是先根据题目条件列出关于糖的颗数 $x$ 的同余关系，然后通过代入和化简求解出 $x$ 的表达式，最后结合糖的颗数限制条件确定最终答案。

1. 根据题意列出条件：
   • 已知这盒糖不到$30$颗，可表示为 $x < 30$。
   • 如果分给每人$6$颗，还剩$2$颗，根据同余的概念，这意味着 $x$ 除以$6$的余数是$2$，用同余式表示为 $x \equiv 2 \pmod{6}$，根据同余式与带余除法的关系，可写成 $x = 6k + 2$（$k$ 为整数）。
   • 如果分给每人$7$颗，还少$2$颗，也就是 $x$ 加上$2$就能被$7$整除，即 $x$ 除以$7$的余数是$5$，用同余式表示为 $x \equiv 5 \pmod{7}$，写成 $x = 7m + 5$（$m$ 为整数）。
2. 求解 $k$ 的值：
   • 将 $x = 6k + 2$ 代入 $x \equiv 5 \pmod{7}$ 中，得到 $6k + 2 \equiv 5 \pmod{7}$。
   • 为了求解 $k$，对等式进行化简，等式两边同时减去$2$，可得 $6k \equiv 5 - 2 \pmod{7}$，即 $6k \equiv 3 \pmod{7}$。
   • 因为在模$7$的意义下，$6$ 与 $-1$ 同余，即 $6 \equiv -1 \pmod{7}$，所以原等式可化为 $-k \equiv 3 \pmod{7}$。
   • 等式两边同时乘以$-1$，得到 $k \equiv -3 \pmod{7}$，又因为 $-3 + 7 = 4$，所以 $k \equiv 4 \pmod{7}$。
   • 根据同余式与带余除法的关系，可写成 $k = 7n + 4$（$n$ 为整数）。
3. 求出 $x$ 的表达式：
   • 将 $k = 7n + 4$ 代入 $x = 6k + 2$ 中，可得 $x = 6(7n + 4) + 2$。
   • 根据乘法分配律展开式子：$x = 6\times7n + 6\times4 + 2 = 42n + 24 + 2 = 42n + 26$。
4. 确定 $n$ 的值并求出 $x$：
   • 因为 $x < 30$，即 $42n + 26 < 30$。
   • 等式两边同时减去$26$，得到 $42n < 30 - 26$，即 $42n < 4$。
   • 由于 $n$ 为整数，满足 $42n < 4$ 的只有 $n = 0$。
   • 当 $n = 0$ 时，$x = 42\times0 + 26 = 26$。