计算：lim _(xarrow 0)dfrac ({(1+x))^dfrac (2{x)}-(e)^2(1-ln (1+x))}(x)。

考查要点：本题主要考查极限的计算，涉及指数函数、对数函数的泰勒展开及等价无穷小替换的应用。

解题核心思路：

1. 拆分分子：将分子拆分为两部分，分别处理 $(1+x)^{\frac{2}{x}}$ 和 $e^{2}(1-\ln(1+x))$。
2. 泰勒展开：对 $\ln(1+x)$ 进行泰勒展开，精确到二阶项，以消除低阶项的干扰。
3. 化简分子：通过展开后的表达式，计算分子的高阶小项，最终与分母 $x$ 相除后求极限。

破题关键点：

• 指数函数展开：将 $(1+x)^{\frac{2}{x}}$ 转化为指数形式 $e^{\frac{2}{x}\ln(1+x)}$，并展开到二阶。
• 对数展开：利用 $\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + o(x^2)$ 精确展开。
• 高阶项抵消：分子中低阶项抵消后，剩余的二阶项与分母 $x$ 相除后趋于 $0$。

步骤1：展开 $(1+x)^{\frac{2}{x}}$
利用 $\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + o(x^2)$，得：
$\begin{aligned}(1+x)^{\frac{2}{x}} &= e^{\frac{2}{x}\ln(1+x)} \\&= e^{\frac{2}{x}\left(x - \frac{x^2}{2} + o(x^2)\right)} \\&= e^{2 - x + o(x)} \\&= e^2 \cdot e^{-x} \cdot e^{o(x)} \\&\approx e^2 \left(1 - x + \frac{x^2}{2}\right) \quad (\text{展开到二阶}).\end{aligned}$

步骤2：展开 $e^2(1-\ln(1+x))$
将 $\ln(1+x)$ 展开代入：
$\begin{aligned}e^2(1-\ln(1+x)) &= e^2 \left(1 - \left(x - \frac{x^2}{2} + o(x^2)\right)\right) \\&= e^2 \left(1 - x + \frac{x^2}{2} + o(x^2)\right).\end{aligned}$

步骤3：计算分子差
将两部分相减：
$\begin{aligned}\text{分子} &= e^2 \left(1 - x + \frac{x^2}{2}\right) - e^2 \left(1 - x + \frac{x^2}{2}\right) + \text{高阶项} \\&= e^2 \cdot \frac{x^2}{12} + o(x^2).\end{aligned}$

步骤4：求极限
分子除以 $x$ 后：
$\frac{\text{分子}}{x} = \frac{e^2 \cdot \frac{x^2}{12} + o(x^2)}{x} = \frac{e^2 x}{12} + o(x) \xrightarrow{x \to 0} 0.$