题目
设随机变量(X,Y)的分布函数为F(x,y)，其边缘分布函数为F_x(x)和F_y(y)，则概率PX >1,Y >1=(）A. 1-F(1,1)B. 1-F_x(1)-F_yC. F(1,1)-F_x(1)-F_y(1)+1D. F(1,1)+F_x(1)+F_y(1)-1
设随机变量$(X,Y)$的分布函数为$F(x,y)$，其边缘分布函数为$F_x(x)$和$F_y(y)$，则概率$P\{X >1,Y >1\}=$(）
A. $1-F(1,1)$
B. $1-F_x(1)-F_y$
C. $F(1,1)-F_x(1)-F_y(1)+1$
D. $F(1,1)+F_x(1)+F_y(1)-1$
题目解答
答案
C. $F(1,1)-F_x(1)-F_y(1)+1$
解析
步骤 1：利用概率的补集性质
根据概率的补集性质，我们可以将$P\{X > 1, Y > 1\}$表示为$1 - P\{X \leq 1 \text{ 或 } Y \leq 1\}$。这是因为$X > 1$和$Y > 1$的补集是$X \leq 1$或$Y \leq 1$。
步骤 2：应用加法公式
根据加法公式，$P\{X \leq 1 \text{ 或 } Y \leq 1\}$可以表示为$F_X(1) + F_Y(1) - F(1, 1)$。这里$F_X(1)$和$F_Y(1)$分别是$X$和$Y$的边缘分布函数在$x=1$和$y=1$处的值，而$F(1, 1)$是联合分布函数在$(1, 1)$处的值。
步骤 3：代入并简化
将步骤2的结果代入步骤1的表达式中，得到$P\{X > 1, Y > 1\} = 1 - [F_X(1) + F_Y(1) - F(1, 1)]$。进一步简化得到$P\{X > 1, Y > 1\} = F(1, 1) - F_X(1) - F_Y(1) + 1$。
根据概率的补集性质，我们可以将$P\{X > 1, Y > 1\}$表示为$1 - P\{X \leq 1 \text{ 或 } Y \leq 1\}$。这是因为$X > 1$和$Y > 1$的补集是$X \leq 1$或$Y \leq 1$。
步骤 2：应用加法公式
根据加法公式，$P\{X \leq 1 \text{ 或 } Y \leq 1\}$可以表示为$F_X(1) + F_Y(1) - F(1, 1)$。这里$F_X(1)$和$F_Y(1)$分别是$X$和$Y$的边缘分布函数在$x=1$和$y=1$处的值，而$F(1, 1)$是联合分布函数在$(1, 1)$处的值。
步骤 3：代入并简化
将步骤2的结果代入步骤1的表达式中，得到$P\{X > 1, Y > 1\} = 1 - [F_X(1) + F_Y(1) - F(1, 1)]$。进一步简化得到$P\{X > 1, Y > 1\} = F(1, 1) - F_X(1) - F_Y(1) + 1$。