题目
22、填空 极限 lim _(narrow infty )sqrt [n](1+{2)^n+(3)^n}= __-|||-(35)-|||-请输入答案
题目解答
答案
解析
步骤 1：确定极限的表达式
给定的极限表达式为 $\lim _{n\rightarrow \infty }\sqrt [n]{1+{2}^{n}+{3}^{n}}$。我们需要找到这个表达式的值。
步骤 2：使用夹逼定理
为了找到这个极限，我们可以使用夹逼定理。首先，我们注意到 $3^n$ 是 $1+2^n+3^n$ 中最大的项。因此，我们可以写出以下不等式：
$$3^n \leq 1+2^n+3^n \leq 3^n + 3^n + 3^n = 3 \cdot 3^n$$
接下来，我们对不等式两边同时开 $n$ 次方根：
$$\sqrt[n]{3^n} \leq \sqrt[n]{1+2^n+3^n} \leq \sqrt[n]{3 \cdot 3^n}$$
简化得到：
$$3 \leq \sqrt[n]{1+2^n+3^n} \leq 3 \cdot \sqrt[n]{3}$$
步骤 3：计算极限
当 $n \rightarrow \infty$ 时，$\sqrt[n]{3} \rightarrow 1$。因此，根据夹逼定理，我们有：
$$\lim _{n\rightarrow \infty }\sqrt [n]{1+{2}^{n}+{3}^{n}} = 3$$
给定的极限表达式为 $\lim _{n\rightarrow \infty }\sqrt [n]{1+{2}^{n}+{3}^{n}}$。我们需要找到这个表达式的值。
步骤 2：使用夹逼定理
为了找到这个极限，我们可以使用夹逼定理。首先，我们注意到 $3^n$ 是 $1+2^n+3^n$ 中最大的项。因此，我们可以写出以下不等式：
$$3^n \leq 1+2^n+3^n \leq 3^n + 3^n + 3^n = 3 \cdot 3^n$$
接下来，我们对不等式两边同时开 $n$ 次方根：
$$\sqrt[n]{3^n} \leq \sqrt[n]{1+2^n+3^n} \leq \sqrt[n]{3 \cdot 3^n}$$
简化得到：
$$3 \leq \sqrt[n]{1+2^n+3^n} \leq 3 \cdot \sqrt[n]{3}$$
步骤 3：计算极限
当 $n \rightarrow \infty$ 时，$\sqrt[n]{3} \rightarrow 1$。因此，根据夹逼定理，我们有：
$$\lim _{n\rightarrow \infty }\sqrt [n]{1+{2}^{n}+{3}^{n}} = 3$$