【例4】设函数f(x)在点x=0处连续，且lim_(xto0)(f(x))/(sin2x)=1，则f'(0)等于（）A. 0B. (1)/(2)C. 1D. 2

本题考查函数在某点的连续性、导数的定义以及等价无穷小的知识。解题的关键思路是先根据已知极限和函数连续性求出$f(0)$的值，再利用导数的定义求出$f^\prime(0)$。

1. 求$f(0)$的值：
   已知$\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{\sin2x}=1$，因为当$x\to0$时，$\sin2x\to0$，而该极限值为$1$（极限存在且不为$0$），根据极限的运算法则，若分母极限为$0$，要使整个分式极限存在，则分子极限也必须为$0$，所以可得$\lim_{x\to0}f(x)=0$。
   又因为函数$f(x)$在点$x = 0$处连续，根据函数在某点连续的定义：$\lim_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)$，那么$f(0)=\lim_{x\to0}f(x)=0$。
2. 求$f^\prime(0)$的值：
   根据导数的定义，函数$f(x)$在点$x = 0$处的导数$f^\prime(0)=\lim_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}{x - 0}$，由上一步已求得$f(0)=0$，所以$f^\prime(0)=\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x}$。
   已知$\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{\sin2x}=1$，当$x\to0$时，$\sin2x$与$2x$是等价无穷小，即$\lim_{x\to0}\frac{\sin2x}{2x}=1$，那么$\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{\sin2x}\cdot\frac{\sin2x}{x}$。
   根据极限的乘法运算法则$\lim_{x\to x_0}[f(x)\cdot g(x)]=\lim_{x\to x_0}f(x)\cdot\lim_{x\to x_0}g(x)$，可得：
   $\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{\sin2x}\cdot\frac{\sin2x}{x}=\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{\sin2x}\cdot\lim_{x\to0}\frac{\sin2x}{x}$
   将$\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{\sin2x}=1$和$\lim_{x\to0}\frac{\sin2x}{x}=\lim_{x\to0}\frac{\sin2x}{2x}\cdot2 = 1\times2 = 2$代入上式，可得：
   $\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{\sin2x}\cdot\lim_{x\to0}\frac{\sin2x}{x}=1\times2 = 2$
   即$f^\prime(0)=2$。