.lim _(xarrow 1)((ln x))^x-1

本题考查的是$0^0$型极限的求解，解题思路是先对原式取对数，将指数形式转化为乘积形式，再利用洛必达法则求解对数后的极限，最后根据对数函数的连续性求出原式的极限。

1. 设$y = (\ln x)^{x - 1}$，两边同时取自然对数可得$\ln y=(x - 1)\ln(\ln x)$。
2. 求$\lim\limits_{x\rightarrow 1}\ln y$，即$\lim\limits_{x\rightarrow 1}(x - 1)\ln(\ln x)$，此为$0\times\infty$型极限，将其变形为$\frac{\ln(\ln x)}{\frac{1}{x - 1}}$，此时为$\frac{\infty}{\infty}$型极限。
3. 对$\frac{\ln(\ln x)}{\frac{1}{x - 1}}$使用洛必达法则，根据洛必达法则$\lim\limits_{x\rightarrow a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim\limits_{x\rightarrow a}\frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)}$（其中$f(x)=\ln(\ln x)$，$g(x)=\frac{1}{x - 1}$）。
   • 先求$f^\prime(x)$：
     根据复合函数求导法则$(f(g(x)))^\prime=f^\prime(g(x))\cdot g^\prime(x)$，令$u = \ln x$，则$f(u)=\ln u$，$f^\prime(u)=\frac{1}{u}$，$g^\prime(x)=\frac{1}{x}$，所以$f^\prime(x)=\frac{1}{\ln x}\cdot\frac{1}{x}=\frac{1}{x\ln x}$。
   • 再求$g^\prime(x)$：
     对$g(x)=\frac{1}{x - 1}=(x - 1)^{-1}$求导，根据求导公式$(x^n)^\prime=nx^{n - 1}$可得$g^\prime(x)=-(x - 1)^{-2}=-\frac{1}{(x - 1)^2}$。
   • 则$\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{\ln(\ln x)}{\frac{1}{x - 1}}=\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{\frac{1}{x\ln x}}{-\frac{1}{(x - 1)^2}}=-\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{(x - 1)^2}{x\ln x}$，此为$\frac{0}{0}$型极限，再次使用洛必达法则。
   • 对$\frac{(x - 1)^2}{x\ln x}$使用洛必达法则，令$f_1(x)=(x - 1)^2$，$g_1(x)=x\ln x$。
     求$f_1^\prime(x)$：根据求导公式$(x^n)^\prime=nx^{n - 1}$可得$f_1^\prime(x)=2(x - 1)$。
     求$g_1^\prime(x)$：根据乘积求导法则$(uv)^\prime=u^\prime v+uv^\prime$，其中$u = x$，$v = \ln x$，$u^\prime = 1$，$v^\prime=\frac{1}{x}$，所以$g_1^\prime(x)=1\times\ln x+x\times\frac{1}{x}=\ln x + 1$。
     则$-\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{(x - 1)^2}{x\ln x}=-\lim\limits_{x\rightarrow 1}\frac{2(x - 1)}{\ln x + 1}$，将$x = 1$代入可得$-\frac{2\times(1 - 1)}{\ln 1 + 1}=0$，即$\lim\limits_{x\rightarrow 1}\ln y = 0$。
4. 因为$y = e^{\ln y}$，根据指数函数的连续性$\lim\limits_{x\rightarrow 1}y=\lim\limits_{x\rightarrow 1}e^{\ln y}=e^{\lim\limits_{x\rightarrow 1}\ln y}$，将$\lim\limits_{x\rightarrow 1}\ln y = 0$代入可得$\lim\limits_{x\rightarrow 1}y = e^0 = 1$，即$\lim\limits_{x\rightarrow 1}(\ln x)^{x - 1}=1$。